4.4.3 第2课时 圆、椭圆的参数方程的应用
第2课时 圆、椭圆的参数方程的应用 1.能用曲线的参数方程去探讨曲线的性质. 2.会用参数法解决圆锥曲线中的最值、定值等问题. [基础·初探] 1.圆的参数方程 圆的参数方程的常见形式为(α为参数).其中,参数α的几何意义是以圆心A(a,b)为顶点,且与x轴同向的射线按逆时针方向旋转到圆上一点P所在半径成的角. 2.椭圆的参数方程 椭圆的参数方程的常见形式为(θ为参数). [思索·探究] 1.椭圆的参数方程与圆的参数方程有什么区分和联系? 【提示】 椭圆+=1(a>b>0)和圆x2+y2=r2一般方程都是平方和等于1的形式,故参数方程都运用了三角代换法,只是参数方程的常数不同. 2.椭圆的参数方程中参数φ的几何意义是什么? 【提示】 从几何变换的角度看,通过伸缩变换,令 椭圆+=1可以变成圆x′2+y′2=1. 利用圆x′2+y′2=1的参数方程 (φ是参数)可以得到椭圆+=1的参数方程(φ是参数).因此,参数φ的几何意义应是椭圆上随意一点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角(称为离心角),而不是OM的旋转角,如图. [质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨沟通: 疑问1:_____________________________________________________ 解惑:_____________________________________________________ 疑问2:_____________________________________________________ 解惑:_____________________________________________________ 疑问3:_____________________________________________________ 解惑:_____________________________________________________ 疑问4:_____________________________________________________ 解惑:_____________________________________________________ 圆的参数方程的应用 在圆x2+2x+y2=0上求一点,使它到直线2x+3y-5=0的距离最大. 【自主解答】 圆的方程x2+2x+y2=0可化为(x+1)2+y2=1,所以设圆的参数方程为 设P(-1+cos θ,sin θ),则点P到直线2x+3y-5=0的距离为 d= = =(其中sin α=, cos α=). 当sin(θ+α)=-1,θ+α=, 即θ=-α时,d取到最大值,此时x=-1+cos θ=-1-,y=sin θ=-, 即点P(-1-,-)即为所求. [再练一题] 1.已知点P(x,y)在圆x2+y2=1上,求x2+2xy+3y2的最大值和最小值. 【解】 圆x2+y2=1的参数方程为(α为参数). ∴x2+2xy+3y2=cos2α+2cos αsin α+3sin2α =+sin 2α+3× =2+sin 2α-cos 2α=2+sin(2α-). 则当α=kπ+(k∈Z)时,x2+2xy+3y2取最大值为2+, 当α=kπ-(k∈Z)时,x2+2xy+3y2取最小值为2-. 椭圆参数方程的应用 已知实数x,y满意3x2+2y2=6x,求: (1)x+y的最大值; (2)x2+y2的取值范围. 【导学号:98990035】 【思路探究】 本题表面上看是代数题,但由于方程3x2+2y2=6x可以表示一个椭圆,故可以用椭圆的参数方程来解. 【自主解答】 方程3x2+2y2=6x,即(x-1)2+=1.设 (1)x+y=1+cos θ+ sin θ =1+ sin(θ+α)(其中tan α=,θ∈[0,2π)). 所以x+y的最大值为1+. (2)x2+y2=(1+cos θ)2+(sin θ)2 =1+2cos θ+cos2θ+sin2θ=-cos2θ+2cos θ=-(cos θ-2)2+, 因为cos θ∈[-1,1],所以0≤x2+y2≤4. 利用椭圆的参数方程(φ是参数),将问题转化为三角函数问题处理. [再练一题] 2.在直角坐标系xOy中,椭圆C的参数方程为(φ为参数,a>b>0).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin=m(m为非零常数)与ρ=b.若直线l经过椭圆C的焦点,且与圆O相切,则椭圆C的离心率为________. 【解析】 由已知可得椭圆标准方程为+=1(a>b>0). 由ρsin=m可得ρsin θ+ρcos θ=m,即直线的一般方程为x+y=m.又圆的一般方程为x2+y2=b2,不妨设直线l经过椭圆C的右焦点(c,0),则得c=m.又因为直线l与圆O相切,所以=b,因此c=b,即c2=2(a2-c2).整理,得=,故椭圆C的离心率为e=. 【答案】 [真题链接赏析] (教材第47页例1)如图445,已知M是椭圆+=1(a>b>0)上在第一象限的点,A(a,0)和B(0,b)是椭圆的两个顶点,O为原点,求四边形MAOB的面积的最大值. 图445 在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),椭圆C的参数方程为(θ为参数).设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求线段AB的长. 【命题意图】 学问:考查直线与椭圆的参数方程、参数方程与一般方程的互化以及直线与椭圆的位置关系等.实力:通过参数方程与一般方程的互化及求线段AB长的过程,考查了运算求解实力. 【解】 椭圆C的一般方程为x2+=1. 将直线l的参数方程代入x2+=1,得2+=1,即7t2+16t=0, 解得t1=0,t2=-.所以AB=|t1-t2|=. 1.已知圆的方程为x2+y2=4x,则它的参数方程是________. 【解析】 x2+y2=4x可化为(x-2)2+y2=4, ∴圆心为(2,0),半径r=2. ∴参数方程为(θ为参数,0≤θ<2π). 【答案】 (θ为参数,0≤θ<2π) 2.椭圆(φ为参数)的焦距是________. 【解析】 依据参数方程,可知a=3,b=2. ∴c= ==, ∴焦距为2c=2. 【答案】 2 3.椭圆+y2=1上的点到直线x-y+6=0的距离的最小值为________. 【导学号:98990036】 【解析】 设P(cos θ,sin θ)是椭圆上的点,则点P到直线x-y+6=0的距离 d==, 当cos(θ+)=-1时,d取到最小值,最小值为2. 【答案】 2 4.点P(x,y)在圆(x-1)2+(y-1)2=1上运动,则3x+4y的最大值为________,的最小值为________. 【解析】 设x=1+cos θ,y=1+sin θ, 所以3x