4.4.3　第2课时　圆、椭圆的参数方程的应用

第2课时 圆、椭圆的参数方程的应用 1．能用曲线的参数方程去探讨曲线的性质． 2．会用参数法解决圆锥曲线中的最值、定值等问题． [基础初探] 1．圆的参数方程 圆的参数方程的常见形式为α为参数．其中，参数α的几何意义是以圆心Aa，b为顶点，且与x轴同向的射线按逆时针方向旋转到圆上一点P所在半径成的角． 2．椭圆的参数方程 椭圆的参数方程的常见形式为θ为参数． [思索探究] 1．椭圆的参数方程与圆的参数方程有什么区分和联系 【提示】 椭圆＋＝1a＞b＞0和圆x2＋y2＝r2一般方程都是平方和等于1的形式，故参数方程都运用了三角代换法，只是参数方程的常数不同． 2．椭圆的参数方程中参数φ的几何意义是什么 【提示】 从几何变换的角度看，通过伸缩变换，令 椭圆＋＝1可以变成圆x′2＋y′2＝1. 利用圆x′2＋y′2＝1的参数方程 φ是参数可以得到椭圆＋＝1的参数方程φ是参数．因此，参数φ的几何意义应是椭圆上随意一点M所对应的圆的半径OA或OB的旋转角称为离心角，而不是OM的旋转角，如图． [质疑手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨沟通 疑问1_____________________________________________________ 解惑_____________________________________________________ 疑问2_____________________________________________________ 解惑_____________________________________________________ 疑问3_____________________________________________________ 解惑_____________________________________________________ 疑问4_____________________________________________________ 解惑_____________________________________________________ 圆的参数方程的应用 在圆x2＋2x＋y2＝0上求一点，使它到直线2x＋3y－5＝0的距离最大． 【自主解答】 圆的方程x2＋2x＋y2＝0可化为x＋12＋y2＝1，所以设圆的参数方程为 设P－1＋cos θ，sin θ，则点P到直线2x＋3y－5＝0的距离为 d＝ ＝ ＝其中sin α＝， cos α＝． 当sinθ＋α＝－1，θ＋α＝， 即θ＝－α时，d取到最大值，此时x＝－1＋cos θ＝－1－，y＝sin θ＝－， 即点P－1－，－即为所求． [再练一题] 1．已知点Px，y在圆x2＋y2＝1上，求x2＋2xy＋3y2的最大值和最小值． 【解】 圆x2＋y2＝1的参数方程为α为参数． ∴x2＋2xy＋3y2＝cos2α＋2cos αsin α＋3sin2α ＝＋sin 2α＋3 ＝2＋sin 2α－cos 2α＝2＋sin2α－． 则当α＝kπ＋k∈Z时，x2＋2xy＋3y2取最大值为2＋， 当α＝kπ－k∈Z时，x2＋2xy＋3y2取最小值为2－. 椭圆参数方程的应用 已知实数x，y满意3x2＋2y2＝6x，求 1x＋y的最大值； 2x2＋y2的取值范围． 【导学号98990035】 【思路探究】 本题表面上看是代数题，但由于方程3x2＋2y2＝6x可以表示一个椭圆，故可以用椭圆的参数方程来解． 【自主解答】 方程3x2＋2y2＝6x，即x－12＋＝1.设 1x＋y＝1＋cos θ＋ sin θ ＝1＋ sinθ＋α其中tan α＝，θ∈[0,2π． 所以x＋y的最大值为1＋. 2x2＋y2＝1＋cos θ2＋sin θ2 ＝1＋2cos θ＋cos2θ＋sin2θ＝－cos2θ＋2cos θ＝－cos θ－22＋， 因为cos θ∈[－1,1]，所以0≤x2＋y2≤4. 利用椭圆的参数方程φ是参数，将问题转化为三角函数问题处理． [再练一题] 2．在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为φ为参数，ab0．在极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴中，直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin＝mm为非零常数与ρ＝b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为________． 【解析】 由已知可得椭圆标准方程为＋＝1ab0． 由ρsin＝m可得ρsin θ＋ρcos θ＝m，即直线的一般方程为x＋y＝m.又圆的一般方程为x2＋y2＝b2，不妨设直线l经过椭圆C的右焦点c,0，则得c＝m.又因为直线l与圆O相切，所以＝b，因此c＝b，即c2＝2a2－c2．整理，得＝，故椭圆C的离心率为e＝. 【答案】 [真题链接赏析] 教材第47页例1如图445，已知M是椭圆＋＝1a＞b＞0上在第一象限的点，Aa,0和B0，b是椭圆的两个顶点，O为原点，求四边形MAOB的面积的最大值． 图445 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为t为参数，椭圆C的参数方程为θ为参数．设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长． 【命题意图】 学问考查直线与椭圆的参数方程、参数方程与一般方程的互化以及直线与椭圆的位置关系等．实力通过参数方程与一般方程的互化及求线段AB长的过程，考查了运算求解实力． 【解】 椭圆C的一般方程为x2＋＝1. 将直线l的参数方程代入x2＋＝1，得2＋＝1，即7t2＋16t＝0， 解得t1＝0，t2＝－.所以AB＝|t1－t2|＝. 1．已知圆的方程为x2＋y2＝4x，则它的参数方程是________． 【解析】 x2＋y2＝4x可化为x－22＋y2＝4， ∴圆心为2,0，半径r＝2. ∴参数方程为θ为参数，0≤θ＜2π． 【答案】 θ为参数，0≤θ＜2π 2．椭圆φ为参数的焦距是________． 【解析】 依据参数方程，可知a＝3，b＝2. ∴c＝ ＝＝， ∴焦距为2c＝2. 【答案】 2 3．椭圆＋y2＝1上的点到直线x－y＋6＝0的距离的最小值为________． 【导学号98990036】 【解析】 设Pcos θ，sin θ是椭圆上的点，则点P到直线x－y＋6＝0的距离 d＝＝， 当cosθ＋＝－1时，d取到最小值，最小值为2. 【答案】 2 4．点Px，y在圆x－12＋y－12＝1上运动，则3x＋4y的最大值为________，的最小值为________． 【解析】 设x＝1＋cos θ，y＝1＋sin θ， 所以3x