4-5奇异值分解
第四节 矩阵的奇异值分解 我们知道,若A是Hermite矩阵,即AH=A,则存在酉矩阵U,使 UHAU=U-1AU=diag(l1,l2,…,ln) 其中li(i=1,2,…n)为A的特征值。对于一般的矩阵,有与之相仿的结论。 定义1 设AÎCrm×n,记Hermite矩阵AHA的n个特征值(因为Hermite矩阵的特征值都是非负实数)为l1≥l2≥…≥lr>lr+1=…=ln=0,则称 (i=1,2,…,n) 为A的奇异值。 易知,A的奇异值的个数等于A的列数(因为AHAÎ Crm×n), A的非零奇异值的个数等于A的秩。因为由本节起先知 例知,对于矩阵 , 所以A的奇异值为 , 又如,Hermite矩阵的奇异值为其特征值的肯定值,即si=|li|。(因为AHA=A2,所以AHA的特征值是A的特征值的平方。) 定理 设AÎCrm×n(r>0)的非零奇异值为s1,s2,…,sr,记å=diag(s1,s2,…,sr),则存在酉矩阵UÎCm×m、VÎCn×n,使得 (2) 证明 由AHA是Hermite矩阵知,存在酉矩阵VÎCn×n使得 这里li≠0(i=1,…,r)和li=0(i=r+1,…,n)是AHA的特征值,令V=(V1|V2),V1ÎCn×r,V2ÎÎCn×(n-r),上式可写为 即 比较两边主对角块,得 , 或 ,AV2=O 若记 U1=AV1å-1, 则上式说明 U1ÎCm×r的r个列向量u1,u2,…,ur是两两酉交的单位向量,把它们扩充为Cm的一个标准正交基,并记添加的向量为ur+1,…,um,令U2=(ur+1,…,um),则有U2HU1=O。(因为酉交)。令U=(U1|U2),可以得到 也就是 把上式写成 (3) 称(3)式为A的奇异值分解。 注1: 从 得 即 所以是的非零特征值对应的酉交单位特征向量构成的矩阵; 从, 所以 说明是的零特征值对应的酉交单位特征向量构成的矩阵。 注2:求奇异值分解步骤。 求的特征值,求A的奇异值,写出å; 求, 写出; 求U1=AV1å-1; 扩充U1为酉矩阵U=( U1| U2),写出 例 求矩阵A的奇异值分解,其中 。 解 因ATA的特征值为l1=4,l2=l3=0,故A的奇异值为s1=2,s2=s3=0 ,所以 å=[2] 。 AHA的对应于l1=4的单位特征向量为 对应于l2=l3=0的两个正交的单位特征向量为 于是 所以可取,使U=(U1|U2)为正交矩阵,便得A的奇异值分解