4-5奇异值分解

第四节 矩阵的奇异值分解 我们知道，若A是Hermite矩阵，即AHA，则存在酉矩阵U，使 UHAUU-1AUdiagl1，l2，，ln 其中li（i1，2，n）为A的特征值。对于一般的矩阵，有与之相仿的结论。 定义1 设ACrmn，记Hermite矩阵AHA的n个特征值因为Hermite矩阵的特征值都是非负实数为l1≥l2≥≥lr＞lr1ln0，则称 （i1，2，,n） 为A的奇异值。 易知，A的奇异值的个数等于A的列数（因为AHA Crmn）, A的非零奇异值的个数等于A的秩。因为由本节起先知 例知，对于矩阵 ， 所以A的奇异值为 , 又如，Hermite矩阵的奇异值为其特征值的肯定值，即si|li|。（因为AHAA2，所以AHA的特征值是A的特征值的平方。） 定理 设ACrmn（r＞0）的非零奇异值为s1，s2，，sr，记diag（s1，s2，，sr），则存在酉矩阵UCmm、VCnn，使得 （2） 证明 由AHA是Hermite矩阵知，存在酉矩阵VCnn使得 这里li≠0（i1，，r）和li0（ir1，，n）是AHA的特征值，令V（V1|V2），V1Cnr，V2Cnn-r，上式可写为 即 比较两边主对角块，得 ， 或 ，AV2O 若记 U1AV1-1， 则上式说明 U1Cmr的r个列向量u1，u2，，ur是两两酉交的单位向量，把它们扩充为Cm的一个标准正交基，并记添加的向量为ur1，，um，令U2（ur1，，um）,则有U2HU1O。因为酉交。令U（U1|U2），可以得到 也就是 把上式写成 3 称3式为A的奇异值分解。 注1 从 得 即 所以是的非零特征值对应的酉交单位特征向量构成的矩阵； 从， 所以 说明是的零特征值对应的酉交单位特征向量构成的矩阵。 注2求奇异值分解步骤。 求的特征值，求A的奇异值，写出; 求, 写出; 求U1AV1-1; 扩充U1为酉矩阵U（ U1| U2），写出 例 求矩阵A的奇异值分解,其中 。 解 因ATA的特征值为l14，l2l30，故A的奇异值为s12，s2s30 ，所以 [2] 。 AHA的对应于l14的单位特征向量为 对应于l2l30的两个正交的单位特征向量为 于是 所以可取，使U（U1|U2）为正交矩阵，便得A的奇异值分解