[精品]徐州七中期中复习:数列(教师版)
专题:等差数列与等比数列 热身训练: 1. 数列{an}中,an=4n—ai+a2Han=an2+bn, nUN*, (a, b 为常数),贝!J ab = 1. - 1 解析:(aj 为等差数列,则 S„ = 2n2-|n, a = 2, b= 2. 已知等差数歹!JR}中,a2=6, a5=15.若bn=a2n,则数列{bn}的前5项和等于 2. 90 解析:a„ = 3n, bn = 6n. 3. 设岛}是公比为正数的等比数列,若ai = l, a5=16,则数列国}前7项和为. 3. 127 4. 已知等比数列{a”}满足 ai>0, ai 006 = 2,贝!J Iog2ai+log2a2+log2a3log2a2on=• 4. 2 011 解析:log2ai + log2a2 + log2a3 + . + log2a2on = log2 (aia2a3 —a2on) = log2 [ (aia2 on) (.3-2&2 oio) . (ai 0058.1 co?) fti ooc] = logj [ (22) 1 005 x 2] = log222 011 = 2 Oil. 例题选讲 【例1】等差数列{an}的各项均为正数,且ai=L前n项和为S”,{b.}为等比数列, 加=1 ,前 n 项和为 Tn,且 b2S2=12, b3S3=81. ⑴求an与bn;⑵求Sn与Tn; ⑶ 设cn=anbn, {cn}的前n项和为Mn,求M”. 解:⑴ 设知}的公差为d, {bj的公比为q,则d为正数, a„ = 1 + (n - 1) d, b„ = q11-1. Ssbs 依题意有八 S2D2 3 +3d q2 = 81, 2 + d q = 12, d = 2, d= 解得,或〈 3 〔q = 3° (舍去) 故 a„ = 1 + 2 (n - 1), a„ = 2n-l, b„= 3n-1. 1 - 3n 311 - 1 (2) Sn = 1 + 3 + 5 + . + (2n - 1) = n2, Tn =-—-=—-—. 1 - 32 (3) c„= (2n - 1) x 3°-1,= 1 + 3 x 3 + 5 x 32 + . + (2n - 1) x 3°-1,① 3M„ = 1 x 3 + 3 x 32 + 5 x 33 + . + (2n - 1) x 3°,② ①-②得-2M„ = 1 + 2 x 3 + 2 x 32 + . + 2 x 3°-1 - (2n - 1) x 3°, M„ = (n - 1) x 3n + l. 【例2】等差数列{aj的前n项和为Sn,跖=1+皿,S3=9+3”. ⑴ 求数列{a”}的通项an与前n项和Sn; ⑵设b.=^(nGN*),求证:数列{%中任意不同的三项都不可能成为等比数列. ai =彖 + 1, 解:(1)由已知得,ld = 2, 、3ai + 3d = 9 + 3寸 2, 故 an = 2n - 1 +y/~2, Sn = n(n +. (2)由⑴得上=牛=11 +彖・假设数列{bj中存在三项bp, bq, br (p, q, r互不相等) 成等比数列,则 b: = bpb“ 即(q + V2)2= (P + ^2) (r+^2)- q - pr = 0, -r = 0, ••- (q2 - pr) + (2q - p - r)y[l = 0, L p, q, MN*,二 = pr, (p - r)2 = 0, p = r.这与 p*r 矛盾. 故数列{bj中任意不同的三项都不可能成为等比数列. 课堂练习 1. 某种细胞,开始时有2个.1小时后,分裂成4个,并死亡1个.2小时后,分裂成6个, 并死亡1个.3小时后,分裂成10个,并死亡一个.…,按此规律,6小时后,存活细胞的 个数是. 解析:设%,是经过“个小时后细胞存活的个数,根据题意分析得a,, = 2“i-L 即 a„ - 1 = 2(a„-i - 1), 所以数列{a“ - 1}是首项为2,公比为2的等比数列. 所以 a6-l = 2-26 1 = 26, .,-«6 = 65. 答案:65 2. 将全体正整数排成一个三角形数阵按如图所示的排列规律,第n行(〃N3)从左到右的 第3个数为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析:前〃-1行共有正整数1 + 2 + 3・・・+ (〃-1)个,即—21个. 因此第n行第三个数是全体正整数中第—+ 3个,即为 一 H-=100,解得 eR),且S25=100,则s+g”等于・ 解析:由数列UJ的前〃项和Sn =淤* bn(a、A6R),可得数列{弱是等差数列,& = 乂 • 了=?, 312 1 5 z4〃+1 ,,2 .•板=天(。-1)-2=-,故 112123123 o1 8-已知数列0}/,a+孕4+4+4 …,祯+还+皿+…+讪…,那么数列加=成篇} 的前〃项和s,,=. 解析:由已知条件可得数列(见的通项公式为 1 + 2 + 3+.・.+〃 n 心E =? 4『冬)・ …1 1 1