[精品]徐州七中期中复习：数列(教师版)

专题等差数列与等比数列 热身训练 1. 数列｛an｝中，an4naia2Hanan2bn, nUN*, a, b 为常数，贝J ab 1. - 1 解析（aj 为等差数列，则 S„ 2n2-|n, a 2, b 2. 已知等差数歹JR｝中，a26, a515.若bna2n，则数列｛bn｝的前5项和等于 2. 90 解析a„ 3n, bn 6n. 3. 设岛｝是公比为正数的等比数列，若ai l, a516,则数列国｝前7项和为. 3. 127 4. 已知等比数列｛a”｝满足 ai0, ai 006 2,贝J Iog2ailog2a2log2a3log2a2on 4. 2 011 解析log2ai log2a2 log2a3 ... log2a2on log2 aia2a3 a2on log2 [ aia2 on .3-22 oio ... ai 0058.1 co fti ooc] logj [ 22 1 005 x 2] log222 011 2 Oil. 例题选讲 【例1】等差数列｛an｝的各项均为正数，且aiL前n项和为S”，｛b.｝为等比数列, 加1 ,前 n 项和为 Tn，且 b2S212, b3S381. ⑴求an与bn；⑵求Sn与Tn； ⑶ 设cnanbn, ｛cn｝的前n项和为Mn，求M”. 解⑴ 设知｝的公差为d, ｛bj的公比为q,则d为正数, a„ 1 （n - 1） d, b„ q11-1. Ssbs 依题意有八 S2D2 3 3d q2 81, 2 d q 12, d 2, d 解得，或〈 3 〔q 3 （舍去） 故 a„ 1 2 n - 1, a„ 2n-l, b„ 3n-1. 1 - 3n 311 - 1 2 Sn 1 3 5 ... 2n - 1 n2, Tn ---. 1 - 32 3 c„ 2n - 1 x 3-1, 1 3 x 3 5 x 32 ... 2n - 1 x 3-1,① 3M„ 1 x 3 3 x 32 5 x 33 ... 2n - 1 x 3,② ①-②得-2M„ 1 2 x 3 2 x 32 ... 2 x 3-1 - 2n - 1 x 3, M„ n - 1 x 3n l. 【例2】等差数列｛aj的前n项和为Sn，跖1皿，S393”. ⑴ 求数列｛a”｝的通项an与前n项和Sn； ⑵设b.nGN*,求证数列｛中任意不同的三项都不可能成为等比数列. ai 彖 1, 解1由已知得，ld 2, 、3ai 3d 9 3寸 2, 故 an 2n - 1 y/2, Sn nn . 2由⑴得上牛11 彖・假设数列｛bj中存在三项bp, bq, br p, q, r互不相等 成等比数列，则 b bpb“ 即q V22 P 2 r2- q - pr 0, -r 0, - q2 - pr 2q - p - ry[l 0, L p, q, MN*,二 pr, p - r2 0, p r.这与 p*r 矛盾. 故数列｛bj中任意不同的三项都不可能成为等比数列. 课堂练习 1. 某种细胞，开始时有2个.1小时后，分裂成4个，并死亡1个.2小时后，分裂成6个， 并死亡1个.3小时后，分裂成10个，并死亡一个.，按此规律，6小时后，存活细胞的 个数是. 解析设％,是经过个小时后细胞存活的个数，根据题意分析得a,, 2i-L 即 a„ - 1 2a„-i - 1, 所以数列｛a“ - 1｝是首项为2,公比为2的等比数列. 所以 a6-l 2-26 1 26, .,-6 65. 答案65 2. 将全体正整数排成一个三角形数阵按如图所示的排列规律，第n行〃N3从左到右的 第3个数为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析前〃-1行共有正整数1 2 3・・・ 〃-1个，即21个. 因此第n行第三个数是全体正整数中第 3个，即为 一 H-100,解得 21 。25 8,所以 51 15 512 214 8. 答案8 7. 已知/x2xi,数列M〃｝满足anfan-inl9 〃EN*, /2i，则数列血｝的通 项公式an. 解析 /2 -9 务广a“-i, 故端； 12, .\- - 22, 2-1 1Sin -1 数列南 是等差数列. an w 6 答案「一 3. 两个等差数列｛a,,｝, ｛膈,它们的前〃项和分别为S* “，若立芒|,则常. 4. 设｛a“｝为等差数列，S”为数列｛,｝的前项和，已知S77, 51575, T.为数列｛牛｝的前 〃项和，则『,,. ［解析］设等差数列UJ的公差为d,则S„ nainn- 1 d. 7务 21〃 7, 15ai 105d75, 5i 3d 1, 即解得 a - 2, d 1. ai ld 5. Sn 1, 八， c 1/ 八 Sn[ Sn 1 .■.-an-\d -2双-1, 切-；亍 C11 Q 数列是等差数列，其首项为-2,公差为3, / /-砂 5. 设S,,是等差数列｛a,,｝的前”项和，若斜,则咨等于 ［解析］据等差数列前力项和性质可知Sy S-Sy勾-6, 12 一 9仍成等差数列 设 S k,则 Sgfk,岛-缶2 左， Sg - S 3k, S[_ S 4k, .Sg S 3k 6k, S]2 勾 4、 101, 6. 已知数列⑷｝的前〃项和Snan2bna ZeR,且S25100,则sg”等于・ 解析由数列UJ的前〃项和Sn 淤* bna、A6R,可得数列｛弱是等差数列， 乂 了, 312 1 5 z4〃1 ,,2 .板天。-1-2-，故 112123123 o1 8-已知数列0｝/，a孕444，祯还皿讪，那么数列加成篇｝ 的前〃项和s,,. 解析由已知条件可得数列（见的通项公式为 1 2 3.・.〃 n 心E 4『冬）・ 1 1 1