3第三章微分中值定理与导数的应用1(1)

第三章 微分中值定理与导数的应用 【考试要求】 1．驾驭罗尔中值定理、拉格朗日中值定理并了解它们的几何意义． 2．娴熟驾驭洛必达法则求“”、“”、“”、“”、“”、“”和“”型未定式极限的方法． 3．驾驭利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简洁的不等式． 4．理解函数极值的概念，驾驭求函数的极值和最值（最大值和最小值）的方法，并且会解简洁的应用问题． 5．会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点． 6．会求曲线的水平渐近线与垂直渐近线． 【考试内容】 一、微分中值定理 1．罗尔定理 假如函数满意下述的三个条件： （1）在闭区间上连续； （2）在开区间内可导； （3）在区间端点处的函数值相等，即， 那么在内至少有一点（），使得． 说明：通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点），即若，则称点为函数的驻点． 2．拉格朗日中值定理 假如函数满意下述的两个条件： （1）在闭区间上连续； （2）在开区间内可导， 那么在内至少有一点（），使得下式（拉格朗日中值公式）成立： ． 说明：当时，上式的左端为零，右端式不为零，则只能，这就说明罗尔定理是拉格朗日中值定理的特别情形．此外，由于拉格朗日中值定理在微分学中占有重要的地位，因此有时也称这定理为微分中值定理． 3．两个重要推论 （1）假如函数在区间上的导数恒为零，那么在区间上是一个常数． 证：在区间上任取两点、（假定，同样可证），应用拉格朗日中值公式可得 （）． 由假定，，所以 ，即 ． 因为、是上随意两点，所以上式表明在区间上的函数值总是相等的，即在区间上是一个常数． （2）假如函数与在区间内的导数恒有，则这两个函数在内至多相差一个常数，即（为常数）． 证：设，则，依据上面的推论（1）可得，，即，故． 二、洛必达法则 1．时“”型未定式的洛必达法则 假如函数及满意下述的三个条件： （1）当时，函数及都趋于零； （2）在点的某个去心邻域内及都存在且； （3）存在（或为无穷大）， 那么 ． 说明：这就是说，当存在时，也存在且等于；当为无穷大时，也是无穷大． 2．时“”型未定式的洛必达法则 假如函数及满意下述的三个条件： （1）当时，函数及都趋于零； （2）当时及都存在且； （3）存在（或为无穷大）， 那么 ． 说明：我们指出，对于或时的未定式“”，也有相应的洛必达法则． 3．运用洛必达法则求“”型或“”型极限时的留意事项 （1）运用洛必达法则之前要先推断所求极限是不是“”型或“”型，假如不是则不能运用洛必达法则．例如：就不能运用洛必达法则，干脆代入求极限即可，故． （2）洛必达法则可多次连续运用，也就是说，假如运用一次洛必达法则后算式仍旧是“”型或“”型，则可再次运用洛必达法则，依此类推． （3）洛必达法则是求“”型或“”型未定式极限的一种有效方法，但最好能与其他求极限的方法结合运用，例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代或重要极限时，应尽可能应用，这样可以使运算简便．例如：求时，可先用进行无穷小的等价替换，然后再用洛必达法则，故 ． （4）假如求极限的式子中含有非零因子，则可以对该非零因子单独求极限（即可以先求出这部分的极限），然后再利用洛必达法则，以便简化运算．例如：求时，，从其次步到第三步的过程中，分子上的因子和分母上的因子当时极限均为，故可先求出这两部分的极限以便化简运算． （5）当洛必达法则的条件不满意时，所求极限不肯定不存在，也即是说，当不存在时（等于无穷大的状况除外），仍可能存在．例如：极限， 极限是不存在的，但是原极限是存在的，． 4．其他类型的未定式 除了“”型或“”型未定式之外，还有其他类型的未定式，如“”、“”、“”、“”及“”型等．对于“”和“”型的未定式，处理方法为将它们干脆转化成“”或“”型；对于“”、“”及“”型的未定式，处理方法为先取对数将它们转化成“”型，然后再转化成“”型或“”型未定式． 三、函数单调性的判定法 1．单调性判定法 设函数在上连续，在内可导， （1）假如在内，那么函数在上单调增加； （2）假如在内，那么函数在上单调削减． 说明：① 假如把这个判定法中的闭区间改为其他各种区间（包括无穷区间），结论也成立； ② 若判定法中在内只有有限个点上，而在其余点上恒有（或），则函数在区间上仍旧是单调增加（或单调削减）的． 2．单调区间的求法 设函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，则求函数的单调性的步骤如下： （1）求出函数的定义域； （2）求出函数的导数，并令求出函数的驻点；此外，再找出导数不存在的点（一般是使得分母为零的点）； （3）用函数的全部驻点和导数不存在的点来划分函数的定义区间，然后用单调性判定定理逐个判定各个部分区间的单调性． 3．用单调性证明不等式 函数的单调性还可以用来证明不等式，步骤如下： （1）将不等式的一边变为零，不等于零的一边设为，依据要证明的式子找出不等式成立的的范围； （2）求的导数，推断在上述范围内的符号（即正负）； （3）依据范围的边界值与的状况，导出所须要证明的不等式即可． 例如：试证明当时，． 证明：原不等式即为 ，故令，， 则 ，在上连续，在内，因此在上单调增加，从而当时，，又由于，故，即 ，亦即 ． 四、函数的凹凸性与拐点 1．函数凹凸性的定义 设函数在区间上连续，假如对上随意两点、，恒有 ，那么称在上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；假如恒有，那么称在上的图形是（向上）凸的（或凸弧）．假如函数在内具有二阶导数，那么可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性，如下所示． 2．函数凹凸性的判定法 设函数在区间上连续，在内具有一阶和二阶导数，那么 （1）若在内，则在上的图形是凹的； （2）若在内，则在上的图形是凸的． 说明：若在内除有限个点上外，其它点上均有（或），则同样可以判定曲线在上为凹曲线（或凸曲线）． 3．曲线的拐点的求法 一般地，设在区间上连续，是的内点（除端点外内的点）．假如曲线在经过点时，曲线的凹凸性变更了，那么就称点为这曲线的拐点． 我们可以依据下述步骤求区间上的连续函数的拐点： （1）求； （2）令，解出这方程在区间内的实根，并求出在区间内不存在的点； （3）对于（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点，检查在左、右两侧邻近的符号，当两侧的符号相反时，点是拐点，当两侧的符号相同时，点不是拐点．在上单3．基本初等函数的微分公式 说明：若要求函数的凹凸区间，则用（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点把区间分成若干部分区间，然后在这些部分区间上判定的符号，若，则该部分区间为凹区间，若，则该部分区间为凸区间． 五、函数的极值与最值 1．函数极值的定义 设函数在点的某邻域内有定义，假如对于去心邻域内任一，有（或），那么就称是函数的一个极大值（或微小值）． 函数的极大值与微小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点． 说明：函数的极大值与微小值概念是