3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 【选题明细表】 学问点、方法 题号 化简求值 1,2,5,7 条件求值 4,6,9,10,12 综合应用 3,8,11,13 1.化简1-2cos2(-θ)的结果为( D ) (A)2cos 2θ(B)-cos 2θ (C)sin 2θ(D)-sin 2θ 解析:1-2cos2(-θ)=1- =-cos(-2θ)=-sin 2θ. 故选D. 2.(2019·玉溪模拟)下列各式中,值为的是( D ) (A)sin 15°cos15°(B)cos2-sin2 (C) (D) 解析:sin 15°cos 15°=sin 30°=,解除A项. cos2-sin2 =cos =,解除B项. ==,解除C项. 由tan 45°==1,知选D. 3.(2019·东莞模拟)已知函数f(x)=,则有( B ) (A)函数f(x)的图象关于直线x=对称 (B)函数f(x)的图象关于点(,0)对称 (C)函数f(x)的最小正周期为 (D)函数f(x)在区间(0,π)内单调递减 解析:因为f(x)===-tan x, 所以函数f(x)的图象关于点(,0)对称,故选B. 4.(2019·绵阳模拟)若tan(α-)=2,则tan 2α等于( D ) (A)-3(B)3(C)-(D) 解析:因为tan (α-)=2=,可求得tan α=-3, 所以tan 2α===.故选D. 5.若f(x)=2tan x-,则f()的值为( B ) (A)- (B)8 (C)4 (D)-4 解析:f(x)=-=2·=, 所以f()==8.故选B. 6.已知α为其次象限角,sin α=,则tan 2α= . 解析:由sin α=,且α为其次象限角得, cos α=-=-, 得tan α==-,tan 2α==-. 答案:- 7.若00, 所以原式=sin+cos-cos+sin =2sin. 答案:2sin 8.(2019·安徽合肥高一检测)求证:-tan θtan 2θ=1. 证明:-tan θtan 2θ=- = ===1. 9.(2019·榆林二模)已知=3cos(2π+θ),|θ|<,则sin 2θ 等于( C ) (A) (B) (C) (D) 解析:因为|θ|<, 所以cos θ∈(0,1], 因为=3cos(2π+θ), 所以=3cos θ,可得sin θ=, 所以cos θ==, 所以sin 2θ=2sin θ cos θ=2××=.故选C. 10.(2019·云南昆明模拟)已知sin 2α=(<α<),tan(α-β)=,则tan(α+β)等于( A ) (A)-2 (B)-1 (C)- (D)- 解析:因为<α<,所以<2α<π. 因为sin 2α=, 所以cos 2α=-,tan 2α=-, 所以tan(α+β)=tan[2α-(α-β)] = ==-2.故选A. 11.(2019·南阳期末)已知:sin α+cos β=,则cos 2α+cos 2β的取值范围是 . 解析:因为sin α+cos β=, 所以cos 2α+cos 2β=1-2sin2α+2cos2β-1 =2(sin α+cos β)(cos β-sin α) =3(cos β-sin α), 由sin α+cos β=得,cos β=-sin α, 易得sin α∈[,1], 所以cos β-sin α=-2sin α∈[-,], 所以cos 2α+cos 2β∈[-,]. 答案:[-,] 12.(2019·安徽合肥高一检测)已知cos α=-,sin β=,α是第三象限角,β∈(,π). (1)求sin 2α的值; (2)求cos(2α+β)的值. 解:(1)因为α是第三象限角,cos α=-, 所以sin α=-=-, 所以sin 2α=2sin αcos α =2×(-)×(-)=. (2)因为β∈(,π),sin β=, 所以cos β=-=-, 因为cos α=-, 所以cos 2α=2cos2α-1=2×-1=, 所以cos(2α+β)=cos 2αcos β-sin 2αsin β=×(-)-×=-. 13.设函数f(x)=5cos2x+sin2x-4sin xcos x. (1)求f(); (2)若f(α)=5,α∈(,π),求角α. 解:f(x)=5cos2x+sin2x-4sin x cos x =5cos2x+5sin2x-2sin 2x-4sin2x =5-2sin 2x-2(1-cos 2x) =3-2sin 2x+2cos 2x =3-4(sin 2x×-cos 2x×) =3-4(sin 2x cos-cos 2x sin) =-4sin(2x-)+3. (1)f()=3-4sin(-)=3-4sin =3-4. (2)由f(α)=5,得sin(2α-)=-, 由α∈(,π),得2α-∈(,), 所以2α-=,α=.