2021年高考数学一轮复习讲练测专题33函数的奇偶性与周期性讲义原卷版

『高考一轮复习-讲练测』 『分项解析•逐一击破J 专题3.3函数的奇偶性与周期性 【考纲解读与核心素养】 1. 理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性，了解函数的周期性. 2. 培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心数学素养. 3. 高考预测： （1）判断函数的奇偶性与周期性； （2）函数的奇偶性、周期性，通常与抽象函数、函数的图象以及函数的单调性结合考查，常结合三角函数 加以考查. 4. 备考重点： （1）抽象函数的奇偶性与周期性； （2）利用奇偶性与周期性求参数取值范围； （3）函数性质的综合应用问题. 【知识清单】 1. 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数九工）的定义域内任意一个X,都有.人一工）=/（工）,那 么函数Rx）是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数7U）的定义域内任意一个工，都有只一工）=一.々）, 那么函数/U）是奇函数 关于原点对称 2. 函数的周期性 （1）周期函数：对于函数y=fl.x）,如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都有々+7） =伽,那么就称函数y=j{x）为周期函数，称T为这个函数的周期. （2）最小正周期：如果在周期函数/U）的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做Kx）的最 小正周期. 【典例剖析】 高频考点一：函数奇偶性的判断 【典例1】(广东省高考真题(理))设函数/ (X)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立 的是 A. /(x) +|g(x)|是偶函数B.f(x) -|g(x)|是奇函数 C.|/(X)|+g(x)是偶函数D.|/(x) I-g(x)是奇函数 【典例2】(2019・北京高考模拟(理))下列函数中为偶函数的是() A.y= x3 + XB.y = x2 -4 C.y = y[xD.= |x + l| 【知识拓展】 (1) 奇、偶函数定义域的特点. 由于犬X)和A-X)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称.这是函数具有奇偶性的必要不充 分条件，所以首先考虑定义域； (2) 奇、偶函数的对应关系的特点. 汽一力 ① 奇函数有犬一x)= —我了)颈一X)+Rx)=00只%)= — 1如岸0)； —人―X) ② 偶函数有犬一x)—yu)=o= f(x)=1顷吊 o). (3) 函数奇偶性的三个关注点. ① 若奇函数在原点处有定义，则必有ao)=o.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数； ② 既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即»=0, x^D,其中定义域。是关于原点对称的非空集 合； ③ 函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数. (4) 奇、偶函数图象对称性的应用. ① 若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数； ② 若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 【变式探究】 1. (2019-天津耀华中学高三月考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是() A. y-x + —B. y = Ji + ^2 C. y = T-TxD. y = x+ex 2. 已知函数f(x)—x—^：的图象经过点(2,1). ⑴求a的值； ⑵判断Ax)的奇偶性. 高频考点二：函数奇偶性的应用 【典例3】(2019-全国高考真题(文))设/U)为奇函数，且当工20时，fix)=ex-l， 则当 x<0 时，j{x)=() A. e v-lB.必+1 C. -e~x-lD. -e x+l 【典例4] (2019-天津南开中学高考模拟(文))已知f(x)^ax2-bx + l是定义域为[a, a+1]的偶函数，则 ab-a2=() 3L A. 0B. -C. JlD. 4 4 【典例5] (2020-四川省泸县五中高三月考(文))已知f(x)是奇函数，且当x) = —弟.若 /(In 2) = 8 ,贝ij。. 【总结提升】 函数奇偶性的应用 (1) 求函数解析式 ①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代入已知解析式； ③ 利用函数的奇偶性求出解析式. (2) 求参数值 在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足犬一x)=一或偶函数满足fi-对=Rx)列等式，根据等 式两侧对应相等确定参数的值.特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0,可以根据犬0)=0 列式求解，若不能确定则不可用此法. 【变式探究】 1. (2019-江西江西师大附中高三高考模拟(文))若函数/(%) = < % ~2x^x-Q为奇函数，则实数。的值 —x + cix^ 工 ,q)的奇函数，满足 产(1 — X)=产(1+X),若/⑴=2,则f(l) + f(2)+ f⑶++/(2020)=() A. -2020B. 2C.0D.2020 【典例7】(2020-六盘山高级中学高三三模(文))奇函数f(x)的定义域为R,若/(x + D为偶函数，且 /(-1)= -1,则 /(2018) + /(2019)=() A. - 2B. - 1C.0D.1 【规律方法】 1. 求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y=Asin((ox++7)=Ax)(7^0)便可证明函数是周期函数，且周期为T,函数的周期性常与 函数的其他性质综合命题. 3. 根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若 T是函数的周期，则 Wez且醇0)也是函数的周期. 【变式探究】 1. (2019-广东高考模拟(文))已知/ CO是定义在R上的奇函数，满足/(l + x)=/(l-x),且r(l) = a,则 .(2)+/■⑶ +/(4)=() A. 0B. -aC. aD. 3a 2. (2019-山东高考模拟(文))已知定义在R上