2 圆的对称性
2 圆的对称性 教学目标 一、基本目标 1.驾驭圆的轴对称性、圆的中心对称性和圆的旋转不变性. 2.理解在同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的对应关系,并运用它解决相关问题. 二、重难点目标 【教学重点】 圆心角、弧、弦之间的关系. 【教学难点】 圆心角、弧、弦之间的关系定理中的“同圆或等圆”条件的理解及定理的应用. 教学过程 环节1 自学提纲,生成问题 【5 min阅读】 阅读教材P70~P72的内容,完成下面练习. 【3 min反馈】 1.圆是轴对称图形,其对称轴是随意一条过圆心的直线;圆是中心对称图形,对称中心为圆心;把圆绕圆心旋转任一角度,所得的图形与原图形重合. 2.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等. 3.在同圆或等圆中,假如两条圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 4.如图,在⊙O中,若∠AOB=∠COD,则AB=CD, =;若=,则∠AOB=∠COD,AB=CD;若AB=CD,则∠AOB=∠COD, =,=. 环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组探讨(师生互学) 【例1】如图,AB、DE是⊙O的直径,C是⊙O上的一点,且=.BE与CE的大小有什么关系?为什么? 【互动探究】(引发学生思索)依据圆心角、弦、弧之间的关系可得=,再结合已知条件=,即可通过等量代换及同圆中相等的弧所对的弦相等得出结论. 【解答】BE=CE. 理由如下: ∵∠AOD=∠BOE, ∴=. 又∵=, ∴=, ∴BE=CE. 【互动总结】(学生总结,老师点评)解此类题时,应从同圆中圆心角、弦、弧之间的关系进行推断. 【例2】如图所示,A、B、C是⊙O上三点,∠AOB=120°,C是的中点,试推断四边形OACB的形态,并说明理由.[来源:1] 【互动探究】(引发学生思索)由∠AOB=120°,C是的中点,可想到连结OC→OA=AC=BC=OB→四边形OACB是菱形. 【解答】四边形OACB是菱形. 理由如下:如图,连结OC. ∵∠AOB=120°,C是的中点, ∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°. 又∵CO=BO, ∴△OBC是等边三角形, ∴OB=BC. 同理可得,△OCA是等边三角形, ∴OA=AC. 又∵OA=OB, ∴OA=AC=BC=BO, ∴四边形OACB是菱形. 【互动总结】(学生总结,老师点评)解此类题时,由弧中点联想到弧、弦、圆心角的关系定理,作协助线(连结弧中点和圆心)解决问题.[来源:学。科。网Z。X。X。K] 活动2 巩固练习(学生独学) 1.如图,在⊙O中,已知=,则AC与BD的关系是( A ) A.AC=BD B.AC<BD C.AC>BD D.不确定 2.如图,AB是⊙O的直径,BC、CD、DA是⊙O的弦,且BC=CD=DA,求∠BOD的度数. 解:连结OC. ∵BC、CD、DA是⊙O的弦,且BC=CD=DA, ∴∠AOD=∠DOC=∠BOC.[来源:学+科+网] 又∵AB是⊙O的直径, ∴∠BOD=×180°=120°. 3.如图,在⊙O中,弦AB=CD,那么∠AOC和∠BOD相等吗?请说明理由. 解:∠AOC=∠BOD.理由如下: 在⊙O中,∵弦AB=CD, ∴∠AOB=∠COD, ∴∠AOB-∠COB=∠COD-∠COB, ∴∠AOC=∠BOD. 4.如图,AB、CD为⊙O的直径,=,求证:BD=CE. 证明:连结AC. ∵=, ∴AC=CE. ∵∠AOC=∠BOD, ∴AC=BD, ∴BD=CE. 活动3 拓展延长(学生对学) 【例3】如图,已知AB是⊙O的直径,M、N分别是AO、BO的中点,CM⊥AB,DN⊥AB.求证: =. 【互动探究】求证=,由弧、弦、圆心角的关系定理,考虑作协助线连结OC、OD,从而通过证明∠COM=∠DON来得到=. 【证明】如图,连结OC、OD. ∵AB是⊙O的直径,M、N分别是AO、BO的中点, ∴OM=ON. ∵CM⊥AB,DN⊥AB, ∴∠OMC=∠OND=90°. 在Rt△OMC和Rt△OND中, ∵[来源:Z#xx#k.Com] ∴Rt△OMC≌Rt△OND(HL), ∴∠COM=∠DON, ∴=. [来源:学。科。网] 【互动总结】(学生总结,老师点评)规律总结:在同圆或等圆中,假如两条弧(一般同为优弧或劣弧)、两条弦、两个圆心角中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评) 圆的对称性 练习设计 请完成本课时对应练习!