2　圆的对称性

2 圆的对称性 教学目标 一、基本目标 1．驾驭圆的轴对称性、圆的中心对称性和圆的旋转不变性． 2．理解在同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的对应关系，并运用它解决相关问题． 二、重难点目标 【教学重点】 圆心角、弧、弦之间的关系． 【教学难点】 圆心角、弧、弦之间的关系定理中的“同圆或等圆”条件的理解及定理的应用． 教学过程 环节1 自学提纲，生成问题 【5 min阅读】 阅读教材P70～P72的内容，完成下面练习． 【3 min反馈】 1．圆是轴对称图形，其对称轴是随意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心；把圆绕圆心旋转任一角度，所得的图形与原图形重合． 2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 3．在同圆或等圆中，假如两条圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 4．如图，在⊙O中，若∠AOB＝∠COD，则AB＝CD， ＝；若＝，则∠AOB＝∠COD，AB＝CD；若AB＝CD，则∠AOB＝∠COD， ＝，＝. 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组探讨师生互学 【例1】如图，AB、DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且＝.BE与CE的大小有什么关系为什么 【互动探究】引发学生思索依据圆心角、弦、弧之间的关系可得＝，再结合已知条件＝，即可通过等量代换及同圆中相等的弧所对的弦相等得出结论． 【解答】BE＝CE. 理由如下 ∵∠AOD＝∠BOE， ∴＝. 又∵＝， ∴＝， ∴BE＝CE. 【互动总结】学生总结，老师点评解此类题时，应从同圆中圆心角、弦、弧之间的关系进行推断． 【例2】如图所示，A、B、C是⊙O上三点，∠AOB＝120，C是的中点，试推断四边形OACB的形态，并说明理由．[来源1] 【互动探究】引发学生思索由∠AOB＝120，C是的中点，可想到连结OC→OA＝AC＝BC＝OB→四边形OACB是菱形． 【解答】四边形OACB是菱形． 理由如下如图，连结OC. ∵∠AOB＝120，C是的中点， ∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60. 又∵CO＝BO， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB＝BC. 同理可得，△OCA是等边三角形， ∴OA＝AC. 又∵OA＝OB， ∴OA＝AC＝BC＝BO， ∴四边形OACB是菱形． 【互动总结】学生总结，老师点评解此类题时，由弧中点联想到弧、弦、圆心角的关系定理，作协助线连结弧中点和圆心解决问题．[来源学。科。网Z。X。X。K] 活动2 巩固练习学生独学 1．如图，在⊙O中，已知＝，则AC与BD的关系是 A A．AC＝BD B．AC＜BD C．AC＞BD D．不确定 2．如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，求∠BOD的度数． 解连结OC. ∵BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA， ∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC.[来源学科网] 又∵AB是⊙O的直径， ∴∠BOD＝180＝120. 3．如图，在⊙O中，弦AB＝CD，那么∠AOC和∠BOD相等吗请说明理由． 解∠AOC＝∠BOD.理由如下 在⊙O中，∵弦AB＝CD， ∴∠AOB＝∠COD， ∴∠AOB－∠COB＝∠COD－∠COB， ∴∠AOC＝∠BOD. 4．如图，AB、CD为⊙O的直径，＝，求证BD＝CE. 证明连结AC. ∵＝， ∴AC＝CE. ∵∠AOC＝∠BOD， ∴AC＝BD， ∴BD＝CE. 活动3 拓展延长学生对学 【例3】如图，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB.求证 ＝. 【互动探究】求证＝，由弧、弦、圆心角的关系定理，考虑作协助线连结OC、OD，从而通过证明∠COM＝∠DON来得到＝. 【证明】如图，连结OC、OD. ∵AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点， ∴OM＝ON. ∵CM⊥AB，DN⊥AB， ∴∠OMC＝∠OND＝90. 在Rt△OMC和Rt△OND中， ∵[来源Zxxk.Com] ∴Rt△OMC≌Rt△ONDHL， ∴∠COM＝∠DON， ∴＝. [来源学。科。网] 【互动总结】学生总结，老师点评规律总结在同圆或等圆中，假如两条弧一般同为优弧或劣弧、两条弦、两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 环节3 课堂小结，当堂达标 学生总结，老师点评 圆的对称性 练习设计 请完成本课时对应练习