中考数学直角三角形的边角关系综合经典题附详细答案

中考数学直角三角形的边角关系综合经典题附详细答案 一、直角三角形的边角关系一、直角三角形的边角关系 1．如图，海上观察哨所 B 位于观察哨所 A 正北方向，距离为25 海里．在某时刻，哨所A 与哨所 B 同时发现一走私船，其位置C 位于哨所 A 北偏东 53°的方向上，位于哨所B 南偏 东 37°的方向上． （1）求观察哨所 A 与走私船所在的位置C 的距离； （2）若观察哨所 A 发现走私船从 C 处以 16 海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉 私艇沿北偏东 76°的方向前去拦截．求缉私艇的速度为多少时，恰好在D 处成功拦 截．（结果保留根号） （参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37＝sin53°≈去，tan37°≈2，tan76°≈） 【答案】（1）观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为 15 海里；（2）当缉私艇以每 小时6 17海里的速度行驶时，恰好在D处成功拦截. 【解析】 【分析】 （1）先根据三角形内角和定理求出∠ ACB＝90°，再解 Rt△ ABC，利用正弦函数定义得出 AC 即可； （2）过点 C 作 CM⊥AB 于点 M，易知，D、C、M 在一条直线上．解 Rt△ AMC，求出 CM、AM．解 Rt△ AMD 中，求出 DM、AD，得出 CD．设缉私艇的速度为 x 海里/小时，根 据走私船行驶 CD 所用的时间等于缉私艇行驶AD 所用的时间列出方程，解方程即可． 【详解】 （1）在△ABC中，ACB180BBAC 180375390. 在Rt ABC中，sin B  3AC  ，所以AC  ABsin37  25 15（海里）. AB5 答：观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为 15 海里. （2）过点C作CM  AB，垂足为M，由题意易知，D、C、M在一条直线上. 在Rt ACM中，CM  ACsinCAM 15 4 12， 5 3 AM  ACcosCAM 159. 5 MD 在Rt△ADM中，tanDAM ， AM 所以MD AM tan7636. 所以AD AM2 MD292362 9 17，CD  MDMC  24. 设缉私艇的速度为v海里/小时，则有 经检验，v  6 17是原方程的解. 249 17 ，解得v  6 17. 16v 答：当缉私艇以每小时6 17海里的速度行驶时，恰好在D处成功拦截. 【点睛】 此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形 的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想． 2．如图，在平行四边形 ABCD 中， ，与交于点 ，连接，. 的值. （1）求证：四边形 （2）若， 是菱形； ，，求 平分，交于点 ，平分，交于点 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 试题分析：（1）根据 AE 平分∠ BAD、BF 平分∠ ABC 及平行四边形的性质可得AF=AB=BE， 从而可知 ABEF 为平行四边形，又邻边相等，可知为菱形 （2）由菱形的性质可知 AP 的长及∠ PAF=60°，过点 P 作 PH⊥AD 于 H，即可得到 PH、DH 的长，从而可求 tan∠ ADP 试题解析：(1)∵ AE 平分∠ BAD BF 平分∠ ABC ∴ ∠ BAE=∠ EAF∠ ABF=∠ EBF ∵ AD//BC ∴ ∠ EAF=∠ AEB ∠ AFB=∠ EBF ∴ ∠ BAE=∠ AEB ∠ AFB=∠ ABF ∴ AB=BE AB=AF ∴ AF=AB=BE ∵ AD//BC ∴ ABEF 为平行四边形 又 AB=BE ∴ ABEF 为菱形 （2）作 PH⊥AD 于 H 由∠ ABC=60°而已（1）可知∠ PAF=60°，PA=2，则有 PH= ∴ tan∠ ADP= ，AH=1，∴ DH=AD-AH=5 考点：1、平行四边形；2、菱形；3、直角三角形；4、三角函数 3．已知：如图，在 Rt△ ABC 中，∠ ACB=90°，点 M 是斜边 AB 的中点，MD∥ BC，且 MD=CM，DE⊥AB 于点 E，连结 AD、CD． （1）求证：△ MED∽ △ BCA； （2）求证：△ AMD≌ △ ； （3）设△ MDE 的面积为 S1，四边形 B 的面积为 S2，当 S2= 值． 17 S1时，求 cos∠ ABC 的 5 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）cos∠ ABC= 【解析】 【分析】 5 . 7 （1）易证∠ DME=∠ CBA，∠ ACB=∠ MED=90°，从而可证明△ MED∽ △ BCA； （2）由∠ ACB=90°，点 M 是斜边 AB 的中点，可知 MB=MC=AM，从而可证明 ∠ AMD=∠ ，从而可利用全等三角形的判定证明△ AMD≌ △ ； （3）易证 MD=2AB，由（1）可知：△ MED∽ △ BCA，所以 2 S 1 S ACB  MD1    ，所以 AB  4 S△ MCB= 知 S 1 ME 12  S△ ACB=2S1，从而可求出 S△ EBD=S2﹣S△ MCB﹣S1=S1，由于，从而可 SEB 25 EBD ME57  ，设 ME=5x，EB=2x，从而可求出 AB=14x，BC=，最后根据锐角三角函数的 EB22 定义即可求出答案． 【详解】 （1）∵ MD∥ BC， ∴ ∠ DME=∠ CBA， ∵ ∠ ACB=∠ MED=90°， ∴ △ MED∽ △ BCA； （2）∵ ∠ ACB=90°，点 M 是斜边 AB 的中点， ∴ MB=MC=AM， ∴ ∠ MCB=∠ MBC， ∵ ∠ DMB=∠ MBC， ∴ ∠ MCB=∠ DMB=∠ MBC， ∵ ∠ AMD=180°﹣∠ DMB， ∠ =180°﹣∠ MCB﹣∠ MBC+∠ DMB=180°﹣∠ MBC， ∴ ∠ AMD=∠ ， 在△ AMD 与△ 中， MD  MD  AMD  ，  AM CM  ∴ △ AMD≌ △ （SAS）； （3）∵ MD=CM， ∴ AM=MC=MD=MB， ∴ MD=2AB， 由（1）可知：△ MED∽ △ BCA， ∴ 2 S 1 S ACB  MD1    ， AB  4 ∴ S△ ACB=4S1， ∵ CM 是△ ACB 的中线， ∴ S△ MCB= 1 S△ ACB=2S1， 2 2 S1， 5 ∴ S△ EBD=S2﹣S△ MCB﹣S1= ∵ S 1 S EBD  ME ， EB S 1 ME  ∴2 ， S 1 EB 5 ∴ ME5  ， EB2 设 ME=5x，EB=2x， ∴ MB=7x， ∴ AB=2MB=14x， MDME1  ， ABBC2 ∴ BC=10 x， ∵ ∴ cos∠ ABC= 【点睛】 本题考查相似三角形的综合问题，涉及直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的性质与 判定，相似三角形的判定与性质，三角形面积的面积比，锐角三角函数的定义等知识，综 合程度较高，