中考数学必考几何模型：圆中的辅助线

圆中的辅助线圆中的辅助线 模型模型 1 1连半径构造等腰三角形连半径构造等腰三角形 已知 AB 是⊙O 的一条弦，连接 OA，OB，则∠A＝∠B． O A 模型分析模型分析 在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件．我们通常可以连接半径构造等腰三角形， 利用等腰三角形的性质及圆中的相关定理，解决角度的计算问题 模型实例模型实例 如图，CD 是⊙O 的直径，∠EOD＝84°，AE 交⊙O 于点 B，且 AB＝OC，求∠A． B E E B A CO D A B CO D 解答：解答：如图，连接 OB，∵AB＝OC，OC＝OB，∴AB＝BO．∴∠BOC＝∠A． ∴∠EBO＝∠BOC＋∠A＝2∠A．而 OB＝OE，得∠E＝∠EBO＝2∠A． 1．如图，AB 经过⊙O 的圆心，点 B 在⊙O 上，若 AD＝OB，且∠B＝54°．试求∠A 的度数． 1 A D O C B 解答：如图，连接 OC、OD．∵∠B＝54°，OC＝OB，∴∠AOC＝2∠B＝108°． 又∵AD＝OB＝OD，∴∠A＝∠AOD．∵OC＝OD， ∴∠OCA＝∠ODC＝∠A＋∠AOD＝2∠A． ∴∠A＋∠OCA＋∠AOC＝∠A＋2∠A＋108°＝180°． ∴∠A＝24°． 2．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 PQ 交 AB 于 M，且 PM＝MO，求证：则AP＝ 1 BQ． 3 A M O Q B P 证明：如图，连接 OP、OQ． ∵PM＝OM， ∴∠P＝∠MOP． ∵OP＝OQ， ∴∠P＝∠Q． ∵∠QMO＝2∠MOP， 2 ∴∠BOQ＝3∠MOP． ∴∠AOP＝ ∴AP＝ 1 ∠BOQ． 3 1 BQ． 3 模型模型 2 2构造直角三角形构造直角三角形 如图①，已知 AB 是⊙O 的直径，点 C 是圆上一点，连接AC、BC，则∠ACB=90 . o C C A A B B O O 图 ① 如图②，已知 AB 是⊙O 的一条弦，过点 O 作 OE⊥AB，则 OE +AE =OA . 222 O O A A E EB B 图② 模型分析模型分析 (1) 如图①,当图形中含有直径时,构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路 ,在证明有关问题中 注意 90 的圆周角的构造. (2)如图②，在解决求弦长、弦心距、半径问题时，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，利用 3 o 弦心距、半径和半弦组成一个直角三角形，再利用勾股定理进行计算. 模型实例模型实例 例例 1 1 已知⊙O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，AE=2，BE=6，∠DEB=60 .求 CD 的长. o D D E E O O C C D A AB B A C F EO B 解答: 如图,过 O 作ＯＦ⊥ＣＤ于点Ｆ，连接ＯＤ．∵ＡＢ＝ＡＥ＋ＥＢ，ＡＥ＝２，ＥＢ＝６， 1 ∴ＡＢ＝８．∴ＯＡ＝2ＡＢ＝４．∴ＯＥ＝ＯＡ－ＡＥ＝４－２＝２ 在Ｒｔ△ＯＥＦ中,∠DEB=60º,OE=2,∴EF=1,OF= 3. 222 42 DF2 ( 3)2 OD  DF OF 在 Rt△ODF 中,,∴.∴DF  13 . ∵OF⊥CD,∴CD=2DF=2 13 例 2 如图,AB 是⊙O 的直径,AB=AC,BC 交⊙O 于点 D,AC 交⊙O 于点 E,∠BAC=45º. (1)求∠EBC 的度数; (2)求证:BD=CD. O E BD C A 4 解答解答 （1）∵AB＝AC，∠BAC＝45°， ∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°． ∵AB 是直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠EBC＝90°－67.5°＝22.5°． （2）连接 AD， ∵AB 是直径， ∴∠ADB＝90°． 又∵AB＝AC， ∴BD＝CD(等腰三角形三线合一性质)． 练习练习 1．如图，⊙O 的弦 AB、CD 互相垂直，垂足为 E，且 AE＝5，BE＝13，点 O 到 AB 的距离为 210．求 点 O 到 CD 距离，线段 OE 的长即⊙O 的半径． C O A E D 5 B 解答解答：如图，连接 OB，过 O 分别作 OM⊥AB 于点 M，ON⊥CD 于点 N． ∵AB＝AE＋BE＝5＋13＝18， ∴AM＝ 1 AB＝9． 2 又∵OM＝210， ∴在 Rt△OBM 中， BO＝OM2 BM2＝81 40＝11， 由图知，四边形 ONEM 是矩形， ∴ON＝EM＝AM－AE＝9－5＝4， ∴OE＝OM2 BM2＝(2 10)2 42＝214． 2．已知，AB 和 CD 是⊙O 的两条弦，且 AB⊥CD 于点 H，连接 BC、AD，作 OE⊥AD 于点 E．求证： OE＝ 1 BC． 2 D E B C O H A 证明证明：如图，连接 AO 并延长交⊙O 于点 F，连接 DF、BD． ∵OE⊥AD， ∴AE＝DE． ∵OA＝OF， ∴OE 是△ADF 的中位线． ∴OE＝ 1 DF． 2 6 ∵AB⊥CD， ∴∠ABD＋∠CDB＝90°． ∵AF 是直径， ∴∠ADF＝90°． ∴∠DAF＋∠F＝90°． ∵∠ABD＝∠F， ∴∠CDB＝∠DAF． ∴DF＝BC． ∴OE＝ 1 BC． 2 3．如图，直径 AB＝2，AB、CD 交于点 E 且夹角为 45°．则 CE2＋DE2＝__________． C A E O B D 解答解答：如图，过点 O 作 OF⊥CD 于点 F，连接 OD． 设 OF＝a，DF＝b， 则在 Rt△OFD 中，a2＋b2＝1． ∴CF＝DF＝b． ∵∠BED＝45°， ∴OF＝EF＝a． ∴CE2＋DE2＝(b－a)2＋(a＋b)2＝2(a2＋b2)＝2． 模型模型 3 3与圆的切线有关的辅助线与圆的切线有关的辅助线 O A CB 7 模型分析模型分析 （1）已知切线：连接过切点的半径；如图，已知直线AB 是⊙O 的切线，点C 是切点，连接OC，则 OC⊥AB． （2）证明切线：①当已知直线经过圆上的一点时，连半径，证垂直； 如图，已知过圆上一点 C 的直线 AB，连接 OC，证明 OC⊥AB，则直线 AB 是⊙O 的切线． ②如果不知直线与圆是否有交点时，作垂直，证明垂线段长度等于半径； 如图，过点 O 作 OC⊥AB，证明 OC 等于⊙O 的半径，则直线 AB 是⊙O 的切线． 模型实例模型实例 例例 1 1 如图，OA、OB 是⊙O 的半径，且 OA⊥OB，P 是 OA 上任意一点，BP 的延长线交⊙O 于 Q，过 Q 点 的切线交 OA 的延长线于 R．求证：RP＝PQ． B P O Q 证明证明 连接 OQ． A R ∵OQ＝OB， ∴∠OQB＝∠OBQ． ∵RQ 为⊙O 的切线，OA⊥OB， ∴∠BPO＝90°－∠OBQ，∠BQR＝90°－∠OQB． ∴∠BPO＝∠QPB＝∠BQR． ∴RP＝RQ． 8 例例 2 2 如图，△ABC 内接于⊙O，过A 点作直线 DE，当∠BAE＝∠C 时，试确定直线DE 与⊙O 的位置关系， 并证明你的结论． C O D 解答解答 直线 DE 与⊙O 相切，理由如下： 连接 AO 并延长，交⊙O 于点 F，连接 BF． ∵∠BAE＝∠C，∠C＝∠F， ∴∠BAE＝∠F ∵AF 为直径， A B E ∴∠AB