初中数学中考八大题型典中典专题复习八动态变化问题

精品文档---下载后可任意编辑 题型概述 动态型问题一般是指以几何知识和图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题，常见的运动对象有点动、线动和面动；其运动形式而言就是平移、旋转、翻折和滚动等。 动态型试题其特点是集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性，题目灵活，多变，动中有静，动静结合，能够在运动变化中进展同学们的空间想象能力。 解答动态型试题的策略是：（1）动中求静，即在运动变化中探究问题中的不变性；（2）动静互化，抓住静的瞬间。找到导致图形或者变化规律发生改变的特别时刻，同时在运动变化的过程中寻找不变性及其变化规律。 题型例析 类型1：动点问题 （1）因动点产生的相似三角形问题：属于动态几何问题，因动点而产生的相似三角形，充分利用相似三角形的判定、性质及其多边形的知识点，结合分类讨论等多种数学思想，将“动”中某些特别时刻看成“静”，并在其静态下把问题解决。 【例题】（2024•酒泉第10题 3分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B、C都不重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ） A． B．C．D． 考点：动点问题的函数图象． 分析：证明△BPE∽△CDP，根据相似三角形的对应边的比相等求得y与x的函数关系式，根据函数的性质即可作出推断． 解答：∵∠CPD=∠FPD，∠BPE=∠FPE， 又∵∠CPD+∠FPD+∠BPE+∠FPE=180°， ∴∠CPD+∠BPE=90°， 又∵直角△BPE中，∠BPE+∠BEP=90°， ∴∠BEP=∠CPD， 又∵∠B=∠C， ∴△BPE∽△CDP， ∴，即，则y=﹣x2+，y是x的二次函数，且开口向下． 故选C． 点评：本题考查了动点问题的函数图象，求函数的解析式，就是把自变量当作已知数值，然后求函数变量y的值，即求线段长的问题，正确证明△BPE∽△CDP是关键． 【变式练习】 （2024•内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第12题3分）如图：把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半，若AB=，则此三角形移动的距离AA′是（ ） A．﹣1B．C．1D． 考点：相似三角形的判定与性质；平移的性质． 专题：压轴题． 分析：利用相似三角形面积的比等于相似比的平方先求出A′B，再求AA′就可以了． 解答：解：设BC与A′C′交于点E， 由平移的性质知，AC∥A′C′ ∴△BEA′∽△BCA ∴S△BEA′：S△BCA=A′B2：AB2=1：2 ∵AB= ∴A′B=1 ∴AA′=AB﹣A′B=﹣1 故选A． 点评：本题利用了相似三角形的判定和性质及平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． （2）因动点产生的特别三角形问题：这类问题主要产生等腰三角形和直角三角形，无论是哪种三角形，都需要进行分类讨论（要注意关注这方面的讨论），等腰三角形可按哪条是底边（或者哪个角是底角）等作为分类标准，直角三角形则按哪条边是斜边（或者哪个角是直角）作为分类标准。 【例题】（2024•山东威海，第 11题3分）如图，已知△ABC为等边三角形，AB=2，点D为边AB上一点，过点D作DE∥AC，交BC于E点；过E点作EF⊥DE，交AB的延长线于F点．设AD=x，△DEF的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图象是（ ） A． B．C．D． 考点：动点问题的函数图象． 分析：根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求得∠F=30°，然后证得△EDC是等边三角形，从而求得ED=DC=2﹣x，再根据直角三角形的性质求得EF，最后根据三角形的面积公式求得y与x函数关系式，根据函数关系式即可判定． 解答：：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°， ∵DE∥AB， ∴∠EDC=∠B=60°， ∵EF⊥DE， ∴∠DEF=90°， ∴∠F=90°﹣∠EDC=30°； ∵∠ACB=60°，∠EDC=60°， ∴△EDC是等边三角形． ∴ED=DC=2﹣x， ∵∠DEF=90°，∠F=30°， ∴EF=ED=（2﹣x）． ∴y=ED•EF=（2﹣x）•（2﹣x）， 即y=（x﹣2）2，（x＜2）， 故选A． 点评：本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，特别角的三角函数、三角形的面积等． 【变式练习】 （2024•山东威海，第25题12分）已知：抛物线l1：y=﹣x2+bx+3交x轴于点A，B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，﹣）． （1）求抛物线l2的函数表达式； （2）P为直线x=1上一动点，连接PA，PC，当PA=PC时，求点P的坐标； （3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值． 考点：二次函数综合题．. 分析：（1）由对称轴可求得b，可求得l1的解析式，令y=0可求得A点坐标，再利用待定系数法可求得l2的表达式； （2）设P点坐标为（1，y），由勾股定理可表示出PC2和PA2，由条件可得到关于y的方程可求得y，可求得P点坐标； （3）可分别设出M、N的坐标，可表示出MN，再根据函数的性质可求得MN的最大值 解答：（1）∵抛物线l1：y=﹣x2+bx+3的对称轴为x=1， ∴﹣=1，解得b=2， ∴抛物线l1的解析式为y=﹣x2+2x+3， 令y=0，可得﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1或x=3， ∴A点坐标为（﹣1，0）， ∵抛物线l2经过点A、E两点， ∴可设抛物线l2解析式为y=a（x+1）（x﹣5）， 又∵抛物线l2交y轴于点D（0，﹣）， ∴﹣=﹣5a，解得a=， ∴y=（x+1）（x﹣5）=x2﹣2x﹣， ∴抛物线l2的函数表达式为y=x2﹣2x﹣； （2）设P点坐标为（1，y），由（1）可得C点坐标为（0，3）， ∴PC2=12+（y﹣3）2=y2﹣6y+10，PA2=[1﹣（﹣1）]2+y2=y2+4， ∵PC=PA， ∴y2﹣6y+10=y2+4，解得y=1， ∴P点坐标为（1，1）； （3）由题意可设M（x，x2﹣2x﹣）， ∵MN∥y轴， ∴N（x，﹣x2+2x+3），x2﹣2x﹣ 令﹣x2+2x+3=x2﹣2x﹣，可解得x=﹣1或x=， ①当﹣1＜x≤时，MN=（﹣x2+2x+3）﹣（x2﹣2x﹣）=﹣x2+4x+=﹣（x﹣）2+， 显然﹣1＜≤，∴当x=时，MN有最大值； ②当＜x≤5时，MN=（x2﹣2x﹣）﹣（﹣x2+2x+3） =x2﹣4x﹣=（x﹣）2﹣， 显然当x＞时，MN随x的增大而增大， ∴当x=5时，MN有