解三角形中的高、中线、角平分线问题

解三角形中的高、中线、角平分线问题解三角形中的高、中线、角平分线问题 浙江温州龙湾中学2008 级学生王煜坤 指导老师陈华云 [ [注注] ]：此文获校首届“科技节”系列活动之“数学小论文”评比三等奖：此文获校首届“科技节”系列活动之“数学小论文”评比三等奖 在学习了《解三角形》这一章后，我们学会了怎样利用正弦定理和余弦定理来求三角形 的边、角等问题。先让我们来回顾这部分主要内容： 正弦定理： abc  sin Asin BsinC a2 b2 c2 2bccos A(1) (2) (3) 222 余弦定理：b  a  c  2accosB c2 a2b2 2abcosC 思考思考 1 1：正弦定理和余弦定理可以互推吗：正弦定理和余弦定理可以互推吗 ①正弦定理⇒余弦定理 设 … abc  2R sin Asin BsinC 则a  2Rsin A,b  2Rsin B,c  2RsinC b2c2 2bccos A  4R2sin2B  4R2sin2C 8R2sin BsinCcos A  4R2(sin2B sin2C  2sin BsinCcos A)  4R2[sin2B sin2C  2sin BsinCcos(B C)]  4R2[sin2B sin2C  2sin BsinC(cosBcosC sin BsinC)]  4R2[sin2B sin2C  2sin BsinCcosBcosC  2sin2Bsin2C)]  4R2[sin2B(1sin2C)sin2C(1sin2B) 2sin BsinCcosBcosC]  4R2[sin2Bcos2C sin2Ccos2B  2sin BsinCcosBcosC]  4R2(sin BcosC sinCcosB)2  4R2sin2A  a2 同理b  a  c  2accosB；c  a b  2abcosC 故“正弦定理⇒余弦定理”成立 ②余弦定理⇒正弦定理 由 （1）+（2） 得a b  a b  2c  2bccos A 2cacosB 即c  bcos A acosB代入（3）得 22222 222222 (bcos A acosB)2 a2b2 2abcosC b2cos2A a2cos2B  2abcos AcosB  a2b2 2abcosC b2(1cos2A)  a2(1cos2B)  2ab(cos AcosB  cosC)  0 } b2sin2A a2sin2B  2ab[cos AcosB cos(A B)]  0 b2sin2A a2sin2B  2absin Asin B  0 (bsin A asin B)2 0bsin A  asinB 同理 ab  sin Asin B accb ； sin AsinCsinCsin B 故“余弦定理正弦定理”成立 思考思考 2 2：三角形的边和高有何关系：三角形的边和高有何关系 如图，在△ABC 中，a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边，ha、hb、hc分别为 a、b、c 三 边上的高。 分析：由余弦定理cosB  a  c b 2ac 222 A c 2 hb 而sinB 1cos2B 1( 则 a c b 2) 2ac 22 ha hc b C B a 11a2c2b2 2 1 S acsin B ac 1()(2ac)2(a2 c2b2)2 222ac4 11 (2ac  a2 c2b2)(2ac  a2c2b2) [(a  c)2b2][b2(a c)2] 44 1 (a b  c)(a b c)(a b  c)(b  a  c) 4 : 根据S   2s1 ah a ，则ha  a2 (a b  c)(a b c)(a b  c)(b  a  c) 2a 同理hb (a b  c)(a b c)(a b  c)(b  a  c) 2b h c  (a b  c)(a b c)(a b  c)(b  a  c) 2cA c B mb ma mc 思考思考 3 3：三角形的边和中线有何关系：三角形的边和中线有何关系 如图，在△ABC 中，a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的 对边，ma、mb、mc 分别为 a、b、c 三边上的中线。 b C a a2 c2b2 分析：由余弦定理cosB  2ac a 2 aa 2 aa2 c2b2 22m a  ( )  c  2( )ccosB  ( )  c  2( )c 22222ac 2222222aa  c bcab1  c2[2(b2 c2)  a2] 424424 2 1 2(b2 c2) a2 2 11 同理mb2(a2 c2)b2；mc2(a2b2)c2 22 所以ma 思考思考 4 4：三角形的边和角平分线有何关系：三角形的边和角平分线有何关系 ~ 如图，在△ABC 中，a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边，Ta、Tb、Tc分别为∠A、∠B、 ∠C 的角平分线。 分析：设 BD、CD 分别为 x、y 根据三角形内角平分线的性质得 A 由 cxb  cx  y  得  byby c 22 x  y  a y  ab b  c 2a b c 由余弦定理 cos C  2ab 2 222 B x D y TcTb Ta b C ab 2 aba2b2c2 T a  b  y  2bycosC  b  ()  2b() b  cb  c2ab b2a2b2c2 22[(b  c)  a (b  c)] 2b(b  c) bcb(b  c  2bc  a )(b  c)(a b c ) [] c(b  c)2 bcbc(a b  c)(b  c  a) 222(b  c  2bc  a )  (b  c)2(b  c)2  所以Ta  222222 bc(a b  c)(b  c  a) b  c ac(a b  c)(a  c b) ；Tc  a  c ab(a b  c)(a b c) a b 同理Tb 通过以上四个思考题， 你是否发现还可以利用正弦定理和余弦定理来推导三角形的高、 中线、 角平分线等问题，它们可以作为正弦定理和余弦定理内容的扩充。