解三角形中的高、中线、角平分线问题

解三角形中的高、中线、角平分线问题解三角形中的高、中线、角平分线问题 浙江温州龙湾中学2008 级学生王煜坤 指导老师陈华云 [ [注注] ]此文获校首届“科技节”系列活动之“数学小论文”评比三等奖此文获校首届“科技节”系列活动之“数学小论文”评比三等奖 在学习了解三角形这一章后，我们学会了怎样利用正弦定理和余弦定理来求三角形 的边、角等问题。先让我们来回顾这部分主要内容 正弦定理 abc  sin Asin BsinC a2 b2 c2 2bccos A1 2 3 222 余弦定理b  a  c  2accosB c2 a2b2 2abcosC 思考思考 1 1正弦定理和余弦定理可以互推吗正弦定理和余弦定理可以互推吗 ①正弦定理⇒余弦定理 设 abc  2R sin Asin BsinC 则a  2Rsin A,b  2Rsin B,c  2RsinC b2c2 2bccos A  4R2sin2B  4R2sin2C 8R2sin BsinCcos A  4R2sin2B sin2C  2sin BsinCcos A  4R2[sin2B sin2C  2sin BsinCcosB C]  4R2[sin2B sin2C  2sin BsinCcosBcosC sin BsinC]  4R2[sin2B sin2C  2sin BsinCcosBcosC  2sin2Bsin2C]  4R2[sin2B1sin2Csin2C1sin2B 2sin BsinCcosBcosC]  4R2[sin2Bcos2C sin2Ccos2B  2sin BsinCcosBcosC]  4R2sin BcosC sinCcosB2  4R2sin2A  a2 同理b  a  c  2accosB；c  a b  2abcosC 故“正弦定理⇒余弦定理”成立 ②余弦定理⇒正弦定理 由 （1）（2） 得a b  a b  2c  2bccos A 2cacosB 即c  bcos A acosB代入（3）得 22222 222222 bcos A acosB2 a2b2 2abcosC b2cos2A a2cos2B  2abcos AcosB  a2b2 2abcosC b21cos2A  a21cos2B  2abcos AcosB  cosC  0 } b2sin2A a2sin2B  2ab[cos AcosB cosA B]  0 b2sin2A a2sin2B  2absin Asin B  0 bsin A asin B2 0bsin A  asinB 同理 ab  sin Asin B accb ； sin AsinCsinCsin B 故“余弦定理正弦定理”成立 思考思考 2 2三角形的边和高有何关系三角形的边和高有何关系 如图，在△ABC 中，a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边，ha、hb、hc分别为 a、b、c 三 边上的高。 分析由余弦定理cosB  a  c b 2ac 222 A c 2 hb 而sinB 1cos2B 1 则 a c b 2 2ac 22 ha hc b C B a 11a2c2b2 2 1 S acsin B ac 12ac2a2 c2b22 222ac4 11 2ac  a2 c2b22ac  a2c2b2 [a  c2b2][b2a c2] 44 1 a b  ca b ca b  cb  a  c 4 根据S   2s1 ah a ，则ha  a2 a b  ca b ca b  cb  a  c 2a 同理hb a b  ca b ca b  cb  a  c 2b h c  a b  ca b ca b  cb  a  c 2cA c B mb ma mc 思考思考 3 3三角形的边和中线有何关系三角形的边和中线有何关系 如图，在△ABC 中，a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的 对边，ma、mb、mc 分别为 a、b、c 三边上的中线。 b C a a2 c2b2 分析由余弦定理cosB  2ac a 2 aa 2 aa2 c2b2 22m a   c  2 ccosB   c  2 c 22222ac 2222222aa  c bcab1  c2[2b2 c2  a2] 424424 2 1 2b2 c2 a2 2 11 同理mb2a2 c2b2；mc2a2b2c2 22 所以ma 思考思考 4 4三角形的边和角平分线有何关系三角形的边和角平分线有何关系 如图，在△ABC 中，a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边，Ta、Tb、Tc分别为∠A、∠B、 ∠C 的角平分线。 分析设 BD、CD 分别为 x、y 根据三角形内角平分线的性质得 A 由 cxb  cx  y  得  byby c 22 x  y  a y  ab b  c 2a b c 由余弦定理 cos C  2ab 2 222 B x D y TcTb Ta b C ab 2 aba2b2c2 T a  b  y  2bycosC  b   2b b  cb  c2ab b2a2b2c2 22[b  c  a b  c] 2bb  c bcbb  c  2bc  a b  ca b c [] cb  c2 bcbca b  cb  c  a 222b  c  2bc  a  b  c2b  c2  所以Ta  222222 bca b  cb  c  a b  c aca b  ca  c b ；Tc  a  c aba b  ca b c a b 同理Tb 通过以上四个思考题， 你是否发现还可以利用正弦定理和余弦定理来推导三角形的高、 中线、 角平分线等问题，它们可以作为正弦定理和余弦定理内容的扩充。