电磁场与电磁波第4版习题

电磁场与电磁波电磁场与电磁波( (第第4 4版版) )习题第习题第 4 4 章章 第第 4 4 章章 时变电磁场时变电磁场 部分习题解答部分习题解答 4.14.1 证明：在无源的真空中，以下矢量函数证明：在无源的真空中，以下矢量函数 1 1  E E c E为常数。为常数。  E E  0 满足波动方程满足波动方程，其中，其中，，   ct 2 2 2 22 0 00 （（1 1）） （（3 3）） E E  e e x E 0 cos(t  E E  e e y E 0 cos(t  2  c z) z) 2 ；（；（2 2））  E E  e e x E 0 sin( c z)cos(t)； ；  c 解解（（1 1）） 2  E E  e e x E 0 cos(t  z)  e e x E 0 2 cos(t z)  czc e e x ()2E 0 cos(t z) cc 22 2E E  e e Ecos(t z)  e eE cos(t z) x0 x0 t2t2cc  故故 1 2E E1  E E  22  e e x ()2E 0 cos(t z) 2 [e e x 2E 0 cos(t z)] 0 ctcccc 2 即即 矢矢 量量 函函 数数 1 2E E  E E  22  0 ct 2 E E  e e x E 0 cos(t   c z) 满满 足足 波波 动动 方方 程程 。。 2  E E  e e x E 0 [sin( z)cos(t)] e e x E 0 2 [sin(z)cos(t)] czc 22 （（2 2））  e e x ()2E 0 sin(z)cos(t) cc 22 2E E  e e E[sin(z)cos(t)] e eE [sin(z)cos(t)] x0 x0 22ttcc  故故 1 2E E1  E E  22  e e x ()2E 0 sin(z)cos(t) 2 [e e x 2E 0 sin(z)cos(t)]  0 ctcccc 2 即即 矢矢 量量 函函 数数 1 2E E  E E  22  0 ct 2 E E  e e x E 0 sin( c z)cos(t) 满满 足足 波波 动动 方方 程程 。。 （（3 3）） 2  E E  e e y E 0 cos(t  z)  e e y E 0 2 cos(t z)  czc 22  e e y ()2E 0 cos(t z) cc 22 2E E  e e Ecos(t z)  e eE cos(t z) y0 x0 t2t2cc  故故 1 2E E1  E E  22  e e y ()2E 0 cos(t z) 2 [e e y 2E 0 cos(t z)] 0 ctcccc 2 即即 矢矢 量量 函函 数数 1 2E E  E E  22  0 ct 2 E E  e e y E 0 cos(t   c z) 满满 足足 波波 动动 方方 程程 。。 4.34.3已知无源的空气中的磁场强度为已知无源的空气中的磁场强度为 H H  e e 0.1sin(10x)cos(610 t kz)A m 利用波动方程求常数利用波动方程求常数 k 的值。的值。 解解在无源的空气中的磁场强度满足波动方在无源的空气中的磁场强度满足波动方 程程  H H(r r,t)  H H(r r,t)  0 t 而而  H H(r r,t)  e e  0.1sin(10x)cos(610 t kz)  9 y 2 2 00 2 229 y e e y[(10 )2k2]0.1sin(10x)cos(6109t kz) 22 9H H(r r,t)  e e 0.1sin(10x)cos(610 t kz)  y 22tt e e y (6109)20.1sin(10x)cos(6109t kz) 代入方程代入方程 H H(r r,t)  2 2H H(r r,t)  0 00 t2 e e y{[(10 )2k2] 00 (6109)2}0.1sin(10x)cos(6109t kz)  0 ，得，得 于是有于是有 [(10)2k2] 00 (6109)2 0 故得到故得到 k  00 (6109)2(10)210 3 4.64.6在应用电磁位时，如果不采用洛仑兹条在应用电磁位时，如果不采用洛仑兹条 件，而采用库仑规范件，而采用库仑规范 A A  0，导出，导出 A A 和和所满足的微所满足的微 分方程。分方程。 解解将电磁矢量位将电磁矢量位 A A 的关系式的关系式 B B   A A 和电磁标量位和电磁标量位的关系式的关系式 A A E E   t 代入麦克斯韦第一方程代入麦克斯韦第一方程 E E  H H  J J  t 得得 1   A A  ( A A)  J J     tt  利用矢量恒等式利用矢量恒等式  A A  ( A A) A A 得得 A A ( A A A A= =J J () （（1 1）） tt 又由又由  D D  得得 A A  ()  t 即即  ( A A)   t （（2 2）） 按库仑规范，令按库仑规范，令 A A  0，将其代入式（，将其代入式（ 1 1）和式）和式 （（2 2）得）得 2 2 2 （（3 3））     （（4 4）） 式（式（3 3）和式（）和式（4 4）就是采用库仑规范时，电磁）就是采用库仑规范时，电磁位位 函数函数 A A 和和所满足的微分方程。所满足的微分方程。 4.94.9自由空间中的电磁场为自由空间中的电磁场为 E E(z,t)  e e 1000cos(t kz)V m H H(z,t)  e e 2.65cos(t kz)A m 式中式中k     0.42rad m。求： 。求： （（1 1）瞬时坡印廷矢量；）瞬时坡印廷矢量； （（2 2）平均坡印廷矢量；）平均坡印廷矢量； （（3 3）） 任一时刻流入如题任一时刻流入如题 4. 94. 9 图所示的平行六图所示的平行六 面体（长面体（长1m、横截面积为、横截面积为 0.25m ）中的净功率。）中的净功率。 解解 （（1 1）瞬时坡印廷矢量）瞬时坡印廷矢量 S S  E E  H H  e e 2