统计学试验

一、一元回归分析一、一元回归分析 实例分析（2）： 选取中国1978～2002年中国研究经费与中国GDP之间的数量关系， 建立的一 元回归模型如下： y i x i  i 其中，yi是中国GDP，xi是中国研究经费 线性回归分析的基本步骤及结果分析： ①绘制散点图①绘制散点图 图图 1 1 ②简单相关分析②简单相关分析 表表 1 1 分析：从表 1 中可得到两变量之间的皮尔逊相关系数为 0.928，双尾检验概率 p 值尾 0.0000.05，故变量之间显著相关。根据“中国研究经费”与“中国 GDP”之 间的散点图与相关分析显示， “中国研究经费”与“中国 GDP”之间存在显著的正相 关关系。 在此前提下进一步进行回归分析，建立一元线性回归方程。 ③线性回归分析③线性回归分析 （（1 1））表2给出了回归模型的拟和优度（R Square）、调整的拟和优度 （Adjusted R Square）、估计标准差（Std. Error of the Estimate）以及Durbin－Watson统计量。 从结果来看，回归的可决系数和调整的可决系数分别为0.860和0.854，即GDP的 85％以上的变动都可以被该模型所解释，拟和优度较高。 表表 2 2 p值为0，所以，拒绝模型整体不显著的原假设，即该模型的整体是显著的。 （（2 2））表3给出了回归模型的方差分析表，可以看到，F统计量为141.616，对应的 表表3 3 （（3 3））表4给出了回归系数、回归系数的标准差、标准化的回归系数值以及各个回 归系数的显著性t检验。 从表中可以看到无论是常数项还是解释变量x， 其t统计 量对应的p值都小于显著性水平0.05，因此，在0.05的显著性水平下都通过了t 检验。变量US经费的回归系数为0.090，即US经费每增加1百万美元，USGDP 就增加0.090个十亿美元。 表表 4 4 （（4 4））为了判断随机扰动项是否服从正态分布，观察图 2 所示的标准化残差的 P －P 图，可以发现，各观测的散点基本上都分布在对角线上，据此可以初步判断 残差服从正态分布。 为了判断随机扰动项是否存在异方差，根据被解释变量y与解释变量x的散点 图，如图1所示，从图1中可以看到，随着解释变量x的增大，被解释变量y的波动 幅度明显增大， 说明随机扰动项可能存在比较严重的异方差问题，应该利用加权 最小二乘法等方法对模型进行修正。 图图 2 2 二、多元回归分析二、多元回归分析 表5给出了Pearson简单相关系数，相关检验t统计量对应的p值。相关系数右上 角有两个星号表示相关系数在0.01的显著性水平下显著。从表中可以看出，3个 指标之间的相关系数都在0.8以上，对应的p值都接近0，表示3个指标具有较强的 正相关关系，而托宾Q值与其他3个变量之间的相关性较弱。 表表 5 5 案例分析（4）： 选取美国1978～2002年US研究经费与研究人员与GDP之间的数量关系，建 立的多元回归模型如下： ˆ 0  ˆˆ y i  1xi1  2x e i 其中，Y是中国GDP， Xi1是中国研究经费， Xi2是中国研究人员 线性回归分析的基本步骤及结果分析： ①简单相关分析①简单相关分析 从表6中可得到 USGDP与US经费的皮尔逊相关系数为0.977，双尾检验概率p值尾0.0000.05， USGDP与US人数的皮尔逊相关系数为0.991，双尾检验概率p值尾0.0000.05， US经费与US人数的皮尔逊相关系数为0.987，双尾检验概率p值尾0.0000.05， 故变量之间显著相关。进一步进行回归分析，建立一元线性回归方程。 表表 6 6 ②线性回归分析②线性回归分析 （（1 1））表 7 给出了回归模型的拟和优度（R Square） 、调整的拟和优度（Adjusted R Square） 、估计标准差（Std. Error of the Estimate ）以及 Durbin－Watson统计量。 从结果来看，回归的可决系数和调整的可决系数分别为 0.982 和 0.981，即 GDP 的 98％以上的变动都可以被该模型所解释，拟和优度较高。 表表 7 7 （（2 2））表 8 给出了回归模型的方差分析表，可以看到，F 统计量为 610.725，对 应的 p 值为 0，所以，拒绝模型整体不显著的原假设，即该模型的整体是显著 的。 表表 8 8 （（3 3））表9给出了回归系数、回归系数的标准差、标准化的回归系数值以及各 个回归系数的显著性t检验。从表中可以看到无论是常数项还是解释变量x，其t 统计量对应的p值都小于显著性水平0.05，因此，在0.05的显著性水平下都通过了 t检验。 变量US人数的回归系数为6.395，即US人数每增加1人，USGDP就增加6.395 个十亿美元。变量US经费（百万美元）的回归系数为-0.001，及US经费每增加 一百万美元，USGDP就增加十亿美元。 表表 9 9 10.13 各季度季节指数如下: 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 季节指数 0.751728 0.851278 1.234322 1.162672 根据分离后的季节因素后的数据计算的趋势方程为： Yt=2043.392+163.7064t SUMMARY OUTPUT 回归统计 Multiple R 0.882769 R Square 0.779281 Adjusted R 0.773473 标准误差 1031.834 观测值40 方差分析 df 回归分析 残差 总计 SSMS 1 1.43E+08 1.43E+08 38 404578871064681 39 1.83E+08 F Significance F 134.165 4.93E-14 Coefficients 标准误差t StatP-value Lower 95%Upper 95% 下限 95.0% 上限 95.0% Intercept2043.392 332.51026.145353.6E-071370.26 2716.5231370.26 2716.523 X Variable 163.7064 14.13339 11.58296 4.93E-14 135.0949192.318 135.0949192.318 季节成分分离后的啤酒销售量量趋势 10000 9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 13579111315171921232527293133353739 y = 163.7x + 2043. R² = 0.779