最大面积和二次函数与一元二次方程的关系70-90

最大面积是多少最大面积是多少 一、考点归纳一、考点归纳 利用二次函数求几何图形的最大面积利用二次函数求几何图形的最大面积 a. 一般步骤： （1）引入自变量； （2）用自变量表示所求几何图形相关的量； （3）根据几何图形的特征，列出其面积的计算公式，用函数表示这个面积； （4）求最值时注意自变量的取值范围。 b. 求几何图形面积的常见方法： （1）利用几何图形的面积公式几何图形的面积公式求几何图形的面积； （2）利用三角形相似三角形相似求几何图形的面积； （3）利用几何图形的面积和或面积差几何图形的面积和或面积差求几何图形的面积。 典型例题：典型例题： 1、如图，在△ABC 中，AF⊥BC，AB=AC=5，BC=6，矩形 PQED 的边 PQ 在线段 BC 上，D、E 分 别在线段 AB、AC 上，设 BP=x。 （1）求矩形 PQED 的面积 y 关于 x 的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围； （2）当 x 取什么值时，矩形 PQED 的面积最大？求出这个最大值； （3）连接 PE，当 PE∥AB 时，矩形 PQED 的面积是多少？ 2、一座拱桥的轮廓是抛物线形，如图1。拱高 6m，跨度 20m，相邻两支柱间的距离为5m。 （1）将抛物线放在所给的直角坐标系中，如图2。其表达式是y  ax2 c的形式，请 根据所给数据求出 a、c 的值； （2）求支柱 MN 的长度； （3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽 2m 的隔离带） ，其中的一条行车道 能否并排形式宽 2m、高3m 的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明理由。 3、用长为 8 米的铝合金条制成如图所示的窗框（把矩形的窗框改为上部分是由4 个全等扇 形组成的半圆，下部分是矩形） ，那么如何设计使窗框的透光面积最大？（结果精确到 0.01 米） 4、如图，在△ABC 中，BC=6，AC=4 2，∠C=45°，P 是 BC 边上一动点 D 在 AC 边上运动， 使 PD 与 AB 保持平行，设 BP=x，△APD 的面积为 y。求 y 与 x 之间的函数关系式，并指 出 x 的取值范围。 5、如图，抛物线经过A(4， 0)， B (1， 0)， C (0，  2)三点． （1）求出抛物线的解析式； （2）P是抛物线上一动点，过P作P M  x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P， M为顶点的三角形与△ O A C相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不 存在，请说明理由； （3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△ D C A的面积最大，求出点D的坐标． O B 1 2 y 4 A x C 总结：总结： 当题目中要求矩形的最大面积时， 通常是用含有自变量x 的代数式表示矩形的长与宽， 根据矩形的面积公式构造关于x 的二次函数，再利用二次函数的图象与性质，求出二 次函数的最大值，同时要注意自变量的取值范围。 课堂练习：课堂练习： 一、填空题： 1、在一块长为 30m，宽为 20m 的矩形地面上修建一个正方形花台．设正方形的边长为xm， 2 除去花台后，矩形地面的剩余面积为ym ，则 y 与 x 之间的函数表达式是， 自 变量 x 的取值范围是．y 有最大值或最小值吗？若有，其最大值是 ，最小值是。 2、周长为 16cm 的矩形的最大面积为 上此时矩形是 2 ，此时矩形的边长为 。 ，实际 。 1 3 3、已知二次函数 y=x －6x＋m 的最小值为 1，则 m 的值是 4、如果一条抛物线与抛物线y=－ 达式是 2 x ＋2 的形状相同，且顶点坐标是（ 4，－2） ，则它的表 ． 5、 （（20102010 甘肃兰州）甘肃兰州） 如图，小明的父亲在相距2 米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了 一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5 米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高 1 米的小明距较近的那棵树0.5 米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的 距离为米。 6、（（20102010 四川成都）四川成都）如图，在ABC中， B  90，AB  12 m m，BC  24m m，动 点P从点A开始沿边AB向B以2m m / s的速度移动（不与点B重合） ，动点Q从点B 开始沿边BC向C以4m m / s的速度移动（不与点C重合） ．如果P、Q分别从A、B 同时出发，那么经过_____________秒，四边形A P Q C的面积最小。 7、（（20102010 青海西宁）青海西宁）小汽车刹车距离s（m）与速度v（km/h）之间的函数关系式为 s  1 100 v ，一辆小汽车速度为 100km/h，在前方 80m 处停放一辆故障车，此时刹车2 有危险（填“会”或“不会” ） 。 二、选择题 1 1、、 （（20102010 甘肃）甘肃）向空中发射一枚炮弹，经 x 秒后的高度为 y 米，且时间与高度的关系为 2 y=ax bx+c（a≠0） ．若此炮弹在第7 秒与第 14 秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹 所在高度最高的是（） A．第 8 秒 B．第 10 秒 C．第 12 秒 D．第 15 秒 2 2、、（（20102010 重庆江津）重庆江津）如图，等腰Rt△ABC（∠ACB＝90）的直角边与正方形DEFG的边长均 为2，且AC与DE在同一直线上，开始时点C与点D重合，让△ ABC沿这条直线向右平移，直到点A与点E重合为止．设CD的 长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的 函数关系的图象大致是（） 3 3、、 （（20102010 广西南宁）广西南宁）如图 3，从地面竖立向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m） 与 小球运动时间t（单位：s）之间的关系式为h  30 t  5t， 那么小球从抛出至回落 到地面所需要的时间是： （A）6s（B）4s（C）3s（D）2s 三、解答题 1、 （20102010 安徽芜湖安徽芜湖） （本小题满分 8 分）用长度为 20m 的金属材料制成如图所示的金属框， 下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为2xm．当该金属框围成的图形面积最 大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积。 2 2、B 船位于 A 船正东 26km 处，现在 A、B 两船同时出发，A 船发每小时 12km 的速度朝正北 方向行驶，B 船发每小时 5km 的速度向正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是 多少？ 3、（（20102010 江苏南通）江苏南通）如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于 0 的 常数） ，BC=8，E为线段 BC上的动点（不与B、C重合） ．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x， BF=y。 （1）求y关于x的函数关系式； （2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？ （3）若 y 12 m ，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？ A F B D E C 4、 （（20102010 山东日照）山东日照）如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A 点飞去， 球的飞行路线为抛物