抽屉原理练习题#精选

word.word. 抽屉原理练习题抽屉原理练习题 1．木箱里装有红色球３个、黄色球５个、蓝色球７个，若蒙眼去摸，为保证 取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？ 解：把３种颜色看作３个抽屉，若要符合题意，则小球的数目必须大于 ３，故至少取出４个小球才能符合要求。 2．一幅扑克牌有 54 张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有 2 张牌有相同的点数？ 解：点数为 1(A)、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(J)、12(Q)、13(K) 的牌各取 1 张，再取大王、小王各1 张，一共15 张，这15 张牌中，没有两张的 点数相同。这样，如果任意再取1 张的话，它的点数必为1～13 中的一个，于是 有 2 张点数相同。 3．11 名学生到老师家借书，老师是书房中有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四类书， 每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本。试证明：必有两个学生所借的 书的类型相同。 证明：若学生只借一本书，则不同的类型有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四种，若 学生借两本不同类型的书，则不同的类型有 AB、AC、AD、BC、BD、CD 六种。共 有 10 种类型，把这 10 种类型看作 10 个“抽屉”，把 11 个学生看作 11 个“苹 果”。 如果谁借哪种类型的书， 就进入哪个抽屉， 由抽屉原理， 至少有两个学生， 他们所借的书的类型相同。 4．有 50 名运动员进行某个项目的单循环赛，如果没有平局，也没有 全胜，试证明：一定有两个运动员积分相同。 证明：设每胜一局得一分，由于没有平局，也没有全胜，则得分情况 只有 1、2、3……49，只有49 种可能，以这 49 种可能得分的情况为 49 个抽屉， 现有 50 名运动员得分，则一定有两名运动员得分相同。 5．体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班 50 名同学来仓库 拿球，规定每个人至少拿１个球，至多拿２个球，问至少有几名同学所拿的球种 类是一致的？ 解题关键：利用抽屉原理２。 word.word. word.word. 解：根据规定，多有同学拿球的配组方式共有以下９种：﹛足﹜ ﹛排﹜﹛蓝﹜﹛足足﹜﹛排排﹜﹛蓝蓝﹜﹛足排﹜﹛足蓝﹜﹛排蓝﹜。 以这９种 配组方式制造９个抽屉，将这 50 个同学看作苹果 50÷9 ＝ 5……5 由抽屉原理２k＝［m/n ］＋１可得，至少有６人，他们所拿的球类是 完全一致的。 6．某校有 55 个同学参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成四组， 则必有一组的女生多于 2 人，又知参赛者中任何 10 人中必有男生，则参赛男生 的人生为__________人。 解：因为任意分成四组，必有一组的女生多于 2 人，所以女生至 少有 4×2＋1＝9（人）；因为任意 10 人中必有男生，所以女生人数至多有 9 人。 所以女生有 9 人，男生有 55－9＝46（人） 7、 证明：从1，3，5，……，99 中任选 26 个数，其中必有两个数 的和是 100。 解析：将这 50 个奇数按照和为 100，放进 25 个抽屉：（1，99）， （3，97）， （5，95），……， （49 ，51）。根据抽屉原理，从中选出26 个数， 则必定有两个数来自同一个抽屉，那么这两个数的和即为 100。 8.某旅游车上有 47 名乘客，每位乘客都只带有一种水果。如果 乘客中有人带梨，并且其中任何两位乘客中至少有一个人带苹果，那么乘客中有 ______人带苹果。 解析：由题意，不带苹果的乘客不多于一名，但又确实有不带苹果的乘 客，所以不带苹果的乘客恰有一名，所以带苹果的就有 46 人。 9.一些苹果和梨混放在一个筐里，小明把这筐水果分成了若干 堆，后来发现无论怎么分，总能从这若干堆里找到两堆，把这两堆水果合并在一 起后，苹果和梨的个数是偶数，那么小明至少把这些水果分成了_______堆。 解析： 要求把其中两堆合并在一起后，苹果和梨的个数一定是偶数， 那么这两堆水果中，苹果和梨的奇偶性必须相同。对于每一堆苹果和梨，奇偶可 能性有 4 种：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），所以根据抽 屉原理可知最少分了 4+1=5 筐。 word.word. word.word. 10. 有黑色、白色、蓝色手套各 5 只（不分左右手），至少要拿出 _____只（拿的时候不许看颜色），才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的。 解析：考虑最坏情况，假设拿了 3 只黑色、1 只白色和 1 只蓝色， 则只有一双同颜色的，但是再多拿一只，不论什么颜色，则一定会有两双同颜色 的，所以至少要那 6 只。 11.从前25个自然数中任意取出7个数,证明:取出的数中一定有两 个数,这两个数中大数不超过小数的 1.5 倍. 证明:把前 25 个自然数分成下面 6 组: 1; ① 2,3; ② 4,5,6; ③ 7,8,9,10; ④ 11,12,13,14,15,16; ⑤ 17,18,19,20,21,22,23, ⑥ 因为从前 25 个自然数中任意取出 7 个数,所以至少有两个数取自上 面第②组到第⑥组中的某同一组,这两个数中大数就不超过小数的 1.5 倍. 12．一副扑克牌有四种花色，每种花色各有 13 张，现在从中任意抽 牌。问最少抽几张牌，才能保证有 4 张牌是同一种花色的？ 解析：根据抽屉原理，当每次取出 4 张牌时，则至少可以保障每种 花色一样一张，按此类推，当取出 12 张牌时，则至少可以保障每种花色一样三 张，所以当抽取第 13 张牌时，无论是什么花色，都可以至少保障有 4 张牌是同 一种花色，选 B。 13．从 1、2、3、4……、12 这 12 个自然数中，至少任选几个，就可 以保证其中一定包括两个数，他们的差是 7？ word.word. word.word. 【解析】在这 12 个自然数中，差是 7 的自然树有以下 5 对：｛12，5｝ ｛11，4｝｛10，3｝｛9，2｝｛8，1｝。另外，还有 2 个不能配对的数是｛6｝ ｛7｝。可构造抽屉原理，共构造了7 个抽屉。只要有两个数是取自同一个抽屉， 那么它们的差就等于 7。这 7 个抽屉可以表示为｛12，5｝｛11，4｝｛10，3｝ ｛9，2｝｛8，1｝｛6｝｛7｝，显然从7 个抽屉中取 8 个数，则一定可以使有两 个数字来源于同一个抽屉，也即作差为 7，所以选择 D。 15．某幼儿班有 40 名小朋友，现有各种玩具 122 件，把这些玩具全部 分给小朋友，是否会有小朋友得到 4 件或 4 件以上的玩具？ 分析与解： 将 40 名小朋友看成 40 个抽屉。 今有玩具 122 件， 122=3×40 ＋2。应用抽屉原理 2，取 n＝40，m＝3，立即知道：至少有一个抽屉中放有 4 件或 4 件以上的玩具。 也就是说，至少会有一个小朋友得到 4 件或 4 件以上的玩 具。 16．一个布袋中有 40 块相同的木块，其中编上号码 1，2，3，4 的各 有 10 块。问：一次至少要取出多少木块，才能保证其中至少有 3 块号码相同的 木块？ 分析与解：将1，2，3，4 四种号码看成 4 个抽屉。要保证有一个抽屉 中至少有 3 件物品，根据抽屉原理 2，至少要有 4×2＋1=9（件）物品。所以一 次至少要取出 9