相似三角形解题方法、步骤

- 1 -9 上（5）相似三角形解题方法、技巧、步骤 相似三角形解题方法、技巧、步骤 一、相似、全等的关系一、相似、全等的关系 全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等 形是相似比为 1 的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而 学习相似形要随时与全等形作比较、 明确它们之间的联系与区别； 相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础． 二、相似三角形二、相似三角形 (1)(1)三角形相似的条件：三角形相似的条件： ①；②；③①；②；③. . 三、两个三角形相似的六种图形：三、两个三角形相似的六种图形： 只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔 加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决. . 四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路： 1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件 最简单； 2） 再而先找一对内角对应相等， 且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例； a)已知一对等 找另一角两角对应相等，两三角形相似 找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角 相等，两三角形相似 找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 b)己知两边对应成比 找第三边也对应成比例三边对应 成比例，两三角形相似 找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似 c)己知一个直 找另一角两角对应相等，两三角形相似 找两边对应成比例判定定理 1 或判定定理 4 找顶角对应相等判定定理 1 d)有等腰关 找底角对应相等判定定理 1 找底和腰对应成比例判定定理 3 e)相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3 五、“三点定形法”，五、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确 定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表 的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形， 若能， 则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若 不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不 同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形 相似就行了，这叫做“竖定”。 有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去 乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好， 应当运用基本规律去解决问题。 例1、已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC. 求证: AE AF  AC BA （判断“横定”还是“竖定”？） 例 2、如图，CD 是 Rt△ABC 的斜边 AB 上的高，∠BAC 的 平分线分别交 BC、CD 于点 E、F，AC·AE=AF·AB 吗？ 说明理由。 分析方法： 1）先将积式______________ 2）______________（“横定”还是“竖定”？） 例1、已知：如图，△ABC 中，∠ ACB=900， AB的垂直平分线交AB于D， 交 BC 延长线于 F。 求证：CD2=DE·DF。 分析方法： 1）先将积式______________ 2）______________（“横定”还是“竖定”？） 六、过渡法（或叫代换法）六、过渡法（或叫代换法） 有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活 地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明． 1 1、、 等量过渡法（等线段代换法）等量过渡法（等线段代换法） 遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中 的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或 四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那 就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段 来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后 再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往 可以得到解决。 当然， 还要注意最后将代换的线段再代换回来。 例 1：如图 3，△ABC 中，AD 平分∠BAC， AD 的垂直平 分线 FE 交 BC 的延长线于 E．求证：DE2＝BE·CE． 分析： 2 2、、 等比过渡法（等比代换法）等比过渡法（等比代换法） 当用三点定形法不能确定三角形， 同时也无等线段代换时， 可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比 例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找 到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再 用三点定形法来确定三角形。 例 2：如图 4，在△ABC 中，∠ BAC=90°， AD⊥BC， E 是 AC 的中点， ED 交 AB 的延长线于点 F． 求证： ABDF AC  AF ． - 2 -9 上（5）相似三角形解题方法、技巧、步骤 3 3、等积过渡法（等积代换法）、等积过渡法（等积代换法） 思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然 后通过三角形相似推出线段成比例；若三点定形法不能确定两 个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换， 然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通 时，则考虑用等积代换法。 例 3：如图 5，在△ ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边 AB 上的高，G 是 DC 延长线上一点，过 B 作 BE⊥AG，垂足为 E， 交 CD 于点 F． 求证：CD2＝DF·DG． 小结：证明等积式思路口诀：“遇等积，化比例：横找竖找定相小结：证明等积式思路口诀：“遇等积，化比例：横找竖找定相 似；似； 不相似，不用急：等线等比来代替。”不相似，不用急：等线等比来代替。” 同类练习：同类练习： 1．如图，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，且∠ADE=∠C 求证：（1）△ADE∽△ACB; (2)AD·AB=AE·AC. （1 题图）（2 题图） 2．如图，△ABC 中，点 DE 在边 BC 上，且△ADE 是等边三角形， ∠BAC=120° 求证：（1）△ADB∽△CEA; 2、DE²=BD·CE; (3)AB·AC=AD·BC. 3．如图，平行四边形 ABCD 中，E 为 BA 延长线上一点，∠D= ∠ECA. 求证：AD·EC=AC·EB. （此题为陷阱题，应注意条件中唯一的角相等，考虑平行四边形 对边相等，用等线替代思想解决） 4．如图，AD 为△ABC 中∠BAC的平分 线，EF 是 AD 的垂直平分线。 求证：FD²=FC·FB。 （此题四点共线， 应积极寻找条件，等 线替代， 转化为证三角形相似。 ） 5．如图，E 是平行四边形的边 DA 延长线上一点，EC 交 AB 于点 G,交 BD 于点 F, 求证：FC²=FG·EF. （此题再次出现四点共线，等线替代无法进行，可以考虑等比替 代。） 6．如图，E 是正方形 ABCD 边 BC 延长线上一点，连接 AE 交 CD 于 F,过 F 作 FM∥BE 交 DE 于 M. 求证：FM=CF. (注：等线替代和等比替代的思想不局限于证明等积式，也 可应用于线段相等的证明。此题用等比替代可以解决。) 7．如图，△ABC 中，AB