相似三角形题型归纳

三角形题型归纳 一、线段比例问题（构造平行） 1、下图中，E 为平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上一点，AE∶EC=1∶3，BE 的延长线交 CD 的 延长线于 G，交 AD 于 F，求证：BF∶FG=1∶2. 2、已知：如图，在直角三角形ABC 中，∠BAC= 90°，AB= AC，D 为 BC 的中点，E 为 AC 上 一点，点 G 在 BE 上，连结 DG 并延长交 AE 于 F，若∠FGE= 45°， （1）求证：BD·BC= BG·BE； （2）求证：AG⊥BE； （3）若 E 为 AC 的中点，求 EF∶FD 的值。 3、如图 1，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于点 D，点 O 是 AC 边上一点，连接 BO 交 AD 于 F， OE⊥OB 交 BC 边于点 E． （1） 求证： △ABF∽△COE； （2） 当 O 为 AC 的中点， 如图 2，求的值； （3）当 O 为 AC 边中点，时，请直接写出的值． 时， 4、如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别 交AC，CD于点P，Q． （1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1 除外） ； （2）求 BP:PQ:QR． A P B O C D R E 二、相似比乘积处理方法（逆向和正向分析找解题思路） 1、如下图，已知在△ABC 中，AD 平分∠BAC,EM 是 AD 的中垂线，交 BC 延长线于 E.求证： DE =BE·CE. 2 2、 过△ABC的顶点C任作一直线， 与边AB及中线AD分别交于点F和E， 求证： AE∶ED=2AF∶FB. 3、如果四边形 ABCD 的对角线交于 O，过 O 作直线 OG∥AB 交 BC 于 E，交 AD 于 F，交 CD 的 延长线于 G，求证：OG =GE·GF. 2 4、已知如图，CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的高，E 为 BC 的中点，ED 的延长线交 CA 于 F。 求证： 5、如图，在 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，点 M 在 CD 上，DH⊥BM 且与 AC 的延长线交 于点 E.求证： （1）△AED∽△CBM； （2） 6、如图，BD、CE 分别是△ABC 的两边上的高，过D 作 DG⊥BC 于 G，分别交 CE 及 BA 的延长 2 线于 F、H。求证： （1）DG ＝BG·CG； （2）BG·CG＝GF·GH 7、已知如图，P 为平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上一点，过P 的直线与 AD、BC、CD 的延长 线、AB 的延长线分别相交于点E、F、G、H.求证： 8、 （1）如图1，点 长线于点 Q，S，交 在平行四边形 ABCD 的对角线 BD 上，一直线过点P 分别交 BA，BC 的延 于点 或 ．求证： 的延长线上时 （2）如图2，图3，当点在 平行四边形 ABCD 的对角线是否仍然成立？若成立， 试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图2 为例进行证明或说明） ； 三、构造相似辅助线——A、X 字型 1、如图：△ABC中，D 是 AB 上一点，AD=AC，BC 边上的中线 AE 交 CD 于 F。求证： 2、四边形 ABCD 中，AC 为 AB、AD 的比例中项，且 AC 平分∠DAB。求证： 3、如图，过平行四边形 ABCD 的顶点 A 的直线交 BD 于 P，交 CD 于 Q，并交 BC 的延长线于 R， PQPD2 求证： 2PRPB A D P B Q C R 四、相似类定值问题 1、如图，在等边△ABC 中，M、N 分别是边 AB，AC 的中点，D 为 MN 上任意一点，BD、CD 的 延长线分别交 AC、AB 于点 E、F． 求证：． 2、已知，在△ABC 中作内接菱形 CDEF，设菱形的边长为 a．求证：． 3、如图，在△ABC 中，已知 CD 为边 AB 上的高，正方形 EFGH 的四个顶点分别在△ABC 上。 求证：． 4、如图所示，▱ABCD 中，AC 与 BD 交于 O 点，E 为 AD 延长线上一点，OE 交 CD 于 F，EO 延长 线交 AB 于 G．求证：． 5、 一条直线截△ABC 的边 BC、 CA、 AB （或它们的延长线） 于点 D、 E、 F． 求证：． 6、已知：P 为▱ABCD 边 BC 上任意一点，DP 交 AB 的延长线于 Q 点，求证：． 五、证明线段相等 1、在等腰Δ ABC，AB AC分别过点B、C作两腰的平行线，经过点A的直线与两平行线 分别交于点D、E，连接DC，BE，DC与AB边相交于点M，BE与AC边相交于点N。(1)如图 1， 若DE//CB，写出图中所有与AM相等的线段，并选取一条给出证明。(2)如图 2，若DE与 CB不平行，在(1)中与AM相等的线段中找出一条仍然与AM相等的线段，并给出证明。 2、在面积为 24 的△ABC 中，矩形 DEFG 的边 DE 在 AB 上运动，点 F、G 分别在 BC、AC 上。 （1）若AE＝8，DE＝2EF，求GF 的长； （2）若∠ACB＝90°，如图2，线段DM、EN 分别为△ ADG 和△BEF 的角平分线，求证：MG＝NF； （3）请直接写出矩形 DEFG 的面积的最大值。 3、在△ABC中，点D从A出发，在AB边上以每秒一个单位的速度向B运动，同时点F从B 出发，在BC边上以相同的速度向C运动，过点D作DE∥BC交AC于点E．运动时间为t秒． （1）若AB＝5，BC＝6，当t为何值时，四边形DFCE为平行四边形； （2）连接AF、CD．若 BD＝DE，求证：∠BAF＝∠BCD； （3）AF交DE于点M，在DC上取点N，使MN∥AC，连接FN． ①求证：＝ BFDN；②若 AB＝5，BC＝6，AC＝4，当MN＝FN时，请直接写出t的值． CFCN A A A A A A D DE E D D D D E E MM E E N N B B F F C C B B F F C C B B F F C C 六、对应练习题 1、如下图，在△ABC 中，D、E 分别为 BC 的三等分点，CM 为 AB 上的中线，CM 分别交 AE、 AD 于 F、G，则 CF∶FG∶GM=5∶3∶2 2、已知：在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠BAC＝∠D，点 E、F 分别在 BC、CD 上，且∠AEF＝ ∠ACD，试探究 AE 与 EF 之间的数量关系。 （1）如图 1，若 AB＝BC＝AC，则 AE 与 EF 之间的 数量关系是什么； （2）如图 2，若 AB＝BC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜 想，并加以证明； （3）如图3，若AB＝kBC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜 想，并加以证明 3、在 Rt△ABC，∠C=90°，D 为 AB 边上一点，点M、N 分别在 BC、AC 边上，且 DM⊥DN．作 MF⊥AB 于点 F，NE⊥AB 于点 E． （1）特殊验证：如图 1，若 AC=BC，且 D 为 AB 中点，求证： DM=DN，AE=DF； （2）拓展探究：若 AC≠BC．①如图 2，若 D 为 AB 中点， （1）中的两个结论 有一