相似模型分类讲解及练习

相似模型部分模型相似模型部分模型 【课程导入】 相似三角形判定的基本模型相似三角形判定的基本模型 平行线型：平行线型： A 字型X 字型A、X 混合型 相交线型：相交线型： A A A A B B C C BDC BD C D D E E 母子型双垂直（射影定理）旋转型 $ 三垂直一线三等角 你能找到每个图中的相似三角形吗 【漫漫学】 1 平行线型（A 字型和 X 字型及变形） 添加平行线构造相似添加平行线构造相似 添构造相似三角形的基本图形。 A D E B CF B G D A D E E FB A GD A E BFC CF GC 【例【例 1 1】】已知：如图，AD 是ABC的中线。 | AF ; BF 求证： （1）若 E 为 AD 的中点，射线 CE 交 AB 于 F，求 （2）若 E 为 AD 上的一点，且 AE1AF 。，射线 CE 交 AB 于 F，求 EDkBF 【练习】【练习】已知，如图，D 是 BC 边的延长线上的一点，BC=3CD，DF 交 AC 边于 E 点，且 AE=2EC。求：AF 与 FB 的比值。 ！ 【练习】【练习】在△ABC 中，D 为 BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交 AD 于 点 O． 某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实： 当 AE11AO22 时，有（如图 1） AC211AD321 图 1图 2图 3图 4 （2）当 AE11AO22 时，有（如图 2） AC312AD422 AE11AO22 时，有（如图 3） AC413AD523 AE1 在图 4 中，当时，参照上述研究结论， AC1n AO 请你猜想用 n 表示的一般结论，并给出证明（其中 n 是正整数） ． AD （3）当 添加垂线线构造相似添加垂线线构造相似 添构造相似三角形的基本图形。 , , 结论为结论为: : 111  EFABCD 【例【例 2 2】】已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为 B、D，AD 和 BC 相交于点 E，EF⊥BD，垂足为 F，我们可以证明 111 成立（不要求考生证明） ． ABCDEF 若将图中的垂线改为斜交，如图，AB∥CD，AD，BC 相交于点 E，过点 E 作 EF∥ AB 交 BD 于点 F，则： （1） 由； 111 还成立吗如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理 ABCDEF （2）请找出 S△ ABD，S△ BED和 S△ BDC间的关系式，并给出证明． % % 【练习】【练习】如图，在 Rt△ ABC 中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点 M，N 从点 C 同时出发，均以每秒1cm 的速度分别沿 CA、CB 向终点 A，B 移 动，同时动点 P 从点 B 出发，以每秒 2cm 的速度沿 BA 向终点 A 移动，连接 PM，PN，设移动时 间为 t（单位：秒，0＜t＜） ． （1）当 t 为何值时，以 A，P，M 为顶点的三角形与△ ABC 相似 （2）是否存在某一时刻 t，使四边形 APNC 的面积 S 有最小值 若存在，求 S 的最小值；若不存在，请说明理由． 相交线型 母子型（母子型（→→双垂直）双垂直） 由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀，故被称为“母子型”． 《《 图图 1 1图图 2 2 当图 1 中∠BAC=90°时，模型由“母子型”就变成“双垂直”． 由图 1 可得：． （射影定理）由图 2 可得：． 【例【例 3 3】】如图，在 Rt△ ABC 中，∠ACB=90°，AD 平分∠CAB 交于点 D， 过点 C 作 CE⊥AD 于 E，CE 的延长线交 AB 于点 F，过点E 作 EG∥BC 交 AB 于 G， AE·AD=16，AB=4 5 ． （1）求证：CE=EF； （2）求 EG 的长． ^ ^ 【练习】【练习】如图，已知△ ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，点 E、F 在 AB 上， ∠ECF=45°． （1）求证：△ ACF∽BEC； （2）设△ ABC 的面积为 S，求证：AF·BE=2S． 旋转型旋转型 通过“旋转型”相似三角形的特征： 1、 由一点发出四条线段对应成比例； ABAC  ADAE 2、 两对相似三角形；ABC∽ADE和ABD∽ACE 3、 ； BDABAD  CEACAE 旋转型的几何模型图： 【例【例1 1】】 如图 1， 两个等腰直角三角板ABC和DEF有一条边在同一条直线l上， DE  2，AB 1．将直线EB绕点E逆时针旋转45，交直线AD于点 M．将图 1 中的三角板ABC沿直线l向右平移，设C、E两点间的距 离为k． 图 1图 2图 3 解答问题： （1）①当点C与点F重合时，如图 2 所示，可得 ②在平移过程中， AM 的值为； DM AM 的值为（用含k的代数式表示） ； DM AM 的值； DM （2）将图 2 中的三角板ABC绕点C逆时针旋转，原题中的其他条件保持不 变．当点A落在线段DF上时，如图 3 所示，请补全图形，计算 ， （3）将图 1 中的三角板 ABC 绕点 C 逆时针旋转度，0≤90，原题中的 其他条件保持不变．计算 AM 的值（用含 k 的代数式表示） ． DM 【练习】【练习】 （2014 门头沟一模 24）已知：在△ABC 中，∠ABC=∠ACB=α，点 D 是 AB 边上任意一点， 将射线 DC 绕点 D 逆时针旋转 α 与过点 A 且平行于 BC 边的直 线交于点 E. （1） 如图1， 当α=60°时， 请直接写出线段BD与AE之间的数量关系； ___________； （2）如图 2，当 α=45°时，判断线段 BD 与 AE 之间的数量关系，并进行证明； ! （3）如图 3，当 α 为任意锐角时，依题意补全图形，请直接写出线段 BD 与 AE 之间的数量关系：_______________________． （用含 α 的式子表示,其中 0  a  90） A E A A D B 图 1 E D D CB 图 2 CB 图 3 C 三垂直（三垂直（→→一线三等角）一线三等角） 根据角平分线的尺规作图可知，角两边上有以角的顶点为端点的两条相等的 线段时，则连接这两条线段的另一个端点与角平分线上的任何一点，可在角 平线两侧出现全等三角形。 三垂直（→一线三等角）的几何模型： — 三垂直 一线三等角 【例【例 4 4】】如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB =CD，AD∥BC，AD=3 ㎝，BC=7 ㎝，∠ B=∠C =60°，P 为下底 BC 上一点（不与 B、C 重合） ，连结 AP，过 P 点作 PE 交 DC 于 E，使得∠APE=∠B． （1）求证：△ABP∽△PCE； （2）在底边 BC 上是否存在一点 P，使得 DE∶EC=5∶3 如果存在，求出 BP 的长， 如果不存在，请说明理由． 【练习】【练习】如图，矩形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，连接 AE，过点 E 作 EF⊥AE 交 DC 于点 F，连接 AF．设 AB k，下列结论： AD （1）△ ABE