离散型随机变量的分布列专项测试题-学生版

离散型随机变量的分布列专项测试题 1．(2015·常熟二模)已知离散型随机变量 X 的分布列为 X P 则 X 的数学期望 E(X)＝() 1 3 5 2 3 10 3 1 10 35 A.2B．2C.2D．3 思路分析：利用公式E(X)  x1p1 x2p2   xnpn求解即可。 小结：E(X)  x1p1 x2p2   xnpn为随机变量 X 的均值或数学期望， 它反映了离散型随机变量 取值的平均水平． 2．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，随机变量ξ＝1 表示结果中有正面向上，ξ＝0 表示结果中没有正面向上，则 E(ξ)＝() 113 A.B．C.D．1 424 思路分析：同时抛掷两枚质地均匀的硬币会出现四种等可能的结果：正正，正反，反正，反反，其中没有正面向上 13 的有一种结果所以概率为 ，则有正面向上的概率为 ，写出分布列利用公式求期望。 44 小结：正确理解随机变量表示的意义，搞清随机变量每个取值对应的随机事件和每个随机事件所包含的各种情形并 求概率，熟练掌握期望公式。 3.(2015·浙江联考)甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为ξ，则 Eξ 为() A．1B．1.5C．2D．2.5 思路分析：ξ 可取 0,1,2,3。需注意 ξ＝0 表示所选课程都不相同，为平均分组然后排序的问题。另外ξ＝2 所包含的 情况较多，可以用间接法。 小结：平均分组问题是排列组合的难点，经常与分布列综合考察，需要认真分析是否有顺序。利用分布列的性质  p=1 可利用间接法求某一个概率。 i n i1 4.已知随机变量 ξ＋η＝8，若 ξ～B(10,0.6)，则 E(η)，D(η)分别是() A．6 和 2.4 C．2 和 5.6 B．2 和 2.4 D．6 和 5.6 思路分析：利用二项分布的性质， 若 ξ～B(n，p)，则 Eξ=np,Dξ=np(1-p)，由8-可得 E(η)＝E(8－ξ),D(η)＝D(8 －ξ)，利用公式E(ax＋b)＝aE(x)＋b(a，b 为常数)．D(ax＋b)＝a2D(x)(a，b 为常数)． 小结：已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、 方差的性质求解；常用公式E(ax＋b)＝aE(x)＋b(a，b 为常数)．D(ax＋b)＝a2D(x)(a，b 为常数)需熟记． 第1页 共 8 页 5. 已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在 y 轴的左侧，其中 a，b，c∈{－3，－2，－1，0，1，2，3}，在这 些抛物线中，记随机变量X 为“|a－b|的取值”，则 X 的数学期望 E(X)为() 8321 A.B.C.D. 9553 思路分析：对称轴在 y 轴的左侧即 a 与 b 同号正负都有 3 种选择，正确确定X 的可能取值 0，1，2，并准确求其概 率。 小结：利用抛物线的特点求出所有可能的情况，搞清随机变量每个取值对应的随机事件和每个随机事件所包含的各 种情形并求概率，利用公式求期望。 填空题： 6．设随机变量 X 的概率分布列如下表所示： X P 0 a 1 1 3 2 1 6 F(x)＝P(X≤x)，则当 x 的取值范围是[1,2)时，F(x)＝________. 思路分析：分布列中各项概率值和为1，从而求 a.x的取值范围是[1,2)需求 0 和 1 对应的概率之和。 小结：本题的解题关键是离散型随机变量的性质。 7．(改编题)有一批产品，其中有12 件正品和 4 件次品，从中有放回地任取3 件，若X 表示取到次品的次数，则DX ＝________. 1 思路分析：由题意可知本题符合二项分布X～B(3， )，利用公式即可。 4 小结：明确二项分布的概念抓住三个特性： （1）每次试验只有两类对应的结果； （2）n 次相同事件相互独立（独立 重复试验） ； （3）每次试验的某一结果的概率是恒定的。 c 8.（改编题）设随机变量ξ 的分布列为 P(ξ＝k)＝，k＝1,2,3，则 E(ξ)＝ k＋1 思路分析：分布列中各项概率值和为1 求 c 的值，从而列出分布列用公式求期望。 小结：熟记离散型随机变量分布列的性质及期望方差的公式。 9．两封信随机投入 A，B，C 三个空邮箱，则 A 邮箱的信件数 X 的期望为________． 思路分析：总投法种数是 32， A 中没有信只能选择 B 和 C 邮箱； A 中仅有一封信：从两封信选一封投入 A，剩下的一封有两种选择； A 中有两封只有一种。 小结：正确理解随机变量表示的意义，搞清随机变量每个取值对应的随机事件和每个随机事件所包含的各种情 形并求概率。 第2页 共 8 页 解答题： 10.公园有甲、乙两个相邻景点，原拟定甲景点内有2 个 A 班的同学和 2 个 B 班的同学；乙景点内有2 个 A 班的同 学和 3 个 B 班的同学，后来由于某种原因，甲、乙两景点各有一同学交换景点参观． 求甲景点 A 班同学数 ξ 的分布 列及期望． 思路分析：甲景点 A 班同学数 ξ 的值 ξ＝1 表示甲景点 A 班的同学与乙景点 B 班的同学交换景点参观； ξ＝2 表示甲 景点 A 班的同学与乙景点 A 班的同学交换景点参观或表示甲景点 B 班的同学与乙景点 B 班的同学交换景点参观;ξ ＝3 表示甲景点 B 班的同学与乙景点A 班的同学交换景点参观。 小结：求离散型随机变量X 的期望的步骤为 (1)理解 X 的意义，写出 X 可能取的全部值； (2)搞清随机变量每个取值对应的随机事件和每个随机事件所包含的各种情形并求概率； (3)写出 X 的分布列； (4)利用公式 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求出期望． 第3页 共 8 页 11．（2015 衡中考前模拟）某校为了解 15 届高三毕业班准备报考飞行员学生的身体素质，对他们的体重进行 了测量， 将所得的数据整理后， 画出了频率分布直方图 （如图） ， 已知图中从左到右前 3 个小组的频率之比为 1:2:4， 其中第二小组的频数为 11. (1)求该校报考飞行员的总人数； (2)若以该学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中（人数很多）任选3 人，设X 表示体重超过 60kg 的学生人数，求 X 的期望与方差。 思路分析：先求出后两组的频率，利用前3 个小组的频率之比为 1:2:4，可以求出第二组的频率，因为第二小组的 频数为 11，可以求出总人数。第二问体重超过60kg 的概率由于“人数很多”可以用频率代替，显然这是二项分布 的问题。 小结：第一问属于统计问题利用频率和频数求总数，第二问要正确理解二项分布的概念关注是否是独立重复试验， 每次试验只有两类对应的结果超过60kg 和不超过 60kg，每次试验的某一结果的概率是恒定的。 第4页 共 8 页 12.某人参加射击，击中目标的概率是 1 3 ①设为他射击 6 次击中目标的次数，求随机变量的分布列； ②若他连续射击 6 次，设为他第一次击中目标的次数，求的分布列； ③若他只有 6 颗子弹，若他击中目标，则不再射击，否则子弹打完，求他射击次数的分