初中数学解题技巧：因式分解的常见变形技巧

因式分解的常见变形技巧因式分解的常见变形技巧 技巧一技巧一 符号变换符号变换 有些多项式有公因式或者可用公式，但是结构不太清晰的情况下，可考虑变 换部分项的系数，先看下面的体验题。 体验题体验题 1 1(m+n)(x-y)+(m-n)(y-x) 指点迷津指点迷津y-x= -(x-y) 体验过程体验过程原式=(m+n)(x-y)-(m-n)(x-y) =(x-y)(m+n-m+n) =2n(x-y) 小结小结符号变化常用于可用公式或有公因式，但公因式或者用公式的条件不太 清晰的情况下。 实践题实践题 1 1分解因式：-a2-2ab-b2 实践详解实践详解各项提出符号，可用平方和公式. 原式=-a2-2ab-b2 =-( a +2ab+b ) = -(a+b)2 技巧二技巧二 系数变换系数变换 有些多项式，看起来可以用公式法，但不变形的话，则结构不太清晰，这时 可考虑进行系数变换。 体验题体验题 2 2 体验过程体验过程 分解因式 4x2-12xy+9y2 原式=(2x)2-2(2x)(3y)+(3y)2 =(2x -3y)2 小结小结系数变化常用于可用公式，但用公式的条件不太清晰的情况下。 实践题实践题 2 2 22 1 2 xyy2  分解因式 x  439 实践详解实践详解原式=( xxyy ) +2.  +() 2332 22 2=( xy +) 23 技巧三技巧三 指数变换指数变换 有些多项式，各项的次数比较高，对其进行指数变换后，更易看出多项式的 结构。 体验题体验题 3 3 指点迷津指点迷津 体验过程体验过程 分解因式 x4-y4 把 x2看成(x2)2,把 y4看成(y2)2,然后用平方差公式。 原式=(x2)2-(y2)2 =(x2+y2)(x2-y2) =(x2+y2)(x+y)(x-y) 小结小结指数变化常用于整式的最高次数是 4 次或者更高的情况下，指数变 化后更易看出各项间的关系。 实践题实践题 3 3分解因式 a4-2a4b4+b4 指点迷津指点迷津 实践详解实践详解 把 a4看成(a2)2，b4=(b2)2 原式=(a2-b2)2 =(a+b)2(a-b)2 技巧四技巧四 展开变换展开变换 有些多项式已经分成几组了，但分成的几组无法继续进行因式分解，这时往 往需要将这些局部的因式相乘的形式展开。然后再分组。 体验题体验题 4 4 a(a+2)+b(b+2)+2ab 指点迷津指点迷津 组。 体验过程体验过程原式= a2+2a+b2+2b+2ab 表面上看无法分解因式，展开后试试：a2+2a+b2+2b+2ab。然后分 = a2+ b2+2a+2b+2ab = a2+ b2+2(a+b+ab) 小结小结展开变化常用于已经分组， 但此分组无法分解因式，当于重新分组。 实践题实践题 4 4 指点迷津指点迷津 实践详解实践详解 x(x-1)-y(y-1) 表面上看无法分解因式， 展开后试试： x2-x-y2+y。 然后重新分组。 原式= x2-x-y2+y =(x2-y2)-(x-y) =(x+y)(x-y)-(x-y) =(x-y)(x+y-1) 技巧五技巧五 拆项变换拆项变换 有些多项式缺项， 如最高次数是三次， 无二次项或者无一次项， 但有常数项。 这类问题直接进行分解往往较为困难，往往对部分项拆项，往往拆次数处于中间 的项。 体验题体验题 5 5分解因式 3a3-4a+1 指点迷津指点迷津本题最高次是三次，缺二次项。三次项的系数为 3，而一次项的系数 为-4，提公因式后，没法结合常数项。所以我们将一次项拆开，拆 成-3a-a 试试。 体验过程体验过程原式= 3a3-3a-a+1 =3a(a2-1)+1-a =3a(a+1)(a-1)-(a-1) =(a-1)[3a(a+1)-1] =(a-1)(3a +3a-1) 另外，也可以拆常数项，将 1 拆成 4-3。 原式=3a3-4a+4-3 =3(a3-1)-4(a-1) =3(a-1)(a2+a+1)-4(a-1) =(a-1)(3a2+3a+3-4) 2 =(a-1)( 3a2+3a-1) 小结小结拆项变化多用于缺项的情况，如整式 3a3-4a+1，最高次是三，其它 的项分别是一，零。缺二次项。通常拆项的目的是将各项的系数调 整趋于一致。 实践题实践题 5 5分解因式 3a3+5a2-2 指点迷津指点迷津三次项的系数为 3，二次项的系数为5，提出公因式a2后。下一步没 法进行了。所以我们将 5a2拆成 3a2 +2a2,化为 3a3+3a2+2a2-2. 实践详解实践详解原式=3a3+3a2+2a2-2 =3a2(a+1)+2(a2-1) =3a2(a+1)+2(a+1)(a-1) =(a+1)(3a2+2a-2) 技巧六技巧六 添项变换添项变换 有些多项式类似完全平方式，但直接无法分解因式。既然类似完全平方式， 我们就添一项然后去一项凑成完全平方式。然后在考虑用其它的方法。 体验题体验题 6 6分解因式 x2+4x-12 指点迷津指点迷津本题用常规的方法几乎无法入手。与完全平方式很象。因此考虑将 其配成完全平方式再说。 体验过程体验过程原式= x2+4x+4-4-12 =(x+2)2-16 =(x+2)2-42 =(x+2+4)(x+2-4) =(x+6)(x-2) 小结小结添项法常用于含有平方项，一次项类似完全平方式的整式或者是缺 项的整式，添项的基本目的是配成完全平方式。 实践题实践题 6 6 实践详解实践详解 分解因式 x2-6x+8 原式=x2-6x+9-9+8 =(x-3)2-1 =(x-3)2-12 =(x-3+1)(x-3-1) =(x-2)(x-4) 实践题实践题 7 7分解因式 a4+4 实践详解实践详解原式=a4+4a2+4-4a2 =(a2+2)2-4a2 =(a2+2+2a)(a2+2-2a) =(a2+2a+2)(a2-2a+2) 技巧七技巧七 换元变换换元变换 有些多项式展开后较复杂，可考虑将部分项作为一个整体，用换元法，结构 就变得清晰起来了。然后再考虑用公式法或者其它方法。 体验题体验题 7 7 指点迷津指点迷津 体考虑。 体验过程体验过程(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1 分解因式 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1 直接展开太麻烦， 我们考虑两两结合。看能否把某些部分作为整 =[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1 =(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1* 令 x2+5x=m. 上式变形为(m+4)(m+6)+1 =m2+10m+24+1 =(m+5)2 =(x +5x+5) *式也可以这样变形，令 x2+5x+4=m 原式可变为： m(m+2)+1 =m2+2m+1 =(m+1)2 22 =(x2+5x+5)2 小结小结换元法常用于多项式较复杂， 其中有几项的部分相同的情况下。 如上题中 的 x2+5x+4 与 x2+5x+6 就有相同的项 x2+5x.，换元法实际上是用的整体的 观点来看问题。 实践题实践题 8 8分解因式 x(x+2)(x+3)(x+5)+9 指点迷津指点迷津将 x(x+5)结合在一起，将(x+2)(x+3)