初中数学解题技巧：因式分解的常见变形技巧

因式分解的常见变形技巧因式分解的常见变形技巧 技巧一技巧一 符号变换符号变换 有些多项式有公因式或者可用公式，但是结构不太清晰的情况下，可考虑变 换部分项的系数，先看下面的体验题。 体验题体验题 1 1mnx-ym-ny-x 指点迷津指点迷津y-x -x-y 体验过程体验过程原式mnx-y-m-nx-y x-ymn-mn 2nx-y 小结小结符号变化常用于可用公式或有公因式，但公因式或者用公式的条件不太 清晰的情况下。 实践题实践题 1 1分解因式-a2-2ab-b2 实践详解实践详解各项提出符号，可用平方和公式. 原式-a2-2ab-b2 - a 2abb -ab2 技巧二技巧二 系数变换系数变换 有些多项式，看起来可以用公式法，但不变形的话，则结构不太清晰，这时 可考虑进行系数变换。 体验题体验题 2 2 体验过程体验过程 分解因式 4x2-12xy9y2 原式2x2-22x3y3y2 2x -3y2 小结小结系数变化常用于可用公式，但用公式的条件不太清晰的情况下。 实践题实践题 2 2 22 1 2 xyy2  分解因式 x  439 实践详解实践详解原式 xxyy 2.  2332 22 2 xy 23 技巧三技巧三 指数变换指数变换 有些多项式，各项的次数比较高，对其进行指数变换后，更易看出多项式的 结构。 体验题体验题 3 3 指点迷津指点迷津 体验过程体验过程 分解因式 x4-y4 把 x2看成x22,把 y4看成y22,然后用平方差公式。 原式x22-y22 x2y2x2-y2 x2y2xyx-y 小结小结指数变化常用于整式的最高次数是 4 次或者更高的情况下，指数变 化后更易看出各项间的关系。 实践题实践题 3 3分解因式 a4-2a4b4b4 指点迷津指点迷津 实践详解实践详解 把 a4看成a22，b4b22 原式a2-b22 ab2a-b2 技巧四技巧四 展开变换展开变换 有些多项式已经分成几组了，但分成的几组无法继续进行因式分解，这时往 往需要将这些局部的因式相乘的形式展开。然后再分组。 体验题体验题 4 4 aa2bb22ab 指点迷津指点迷津 组。 体验过程体验过程原式 a22ab22b2ab 表面上看无法分解因式，展开后试试a22ab22b2ab。然后分 a2 b22a2b2ab a2 b22abab 小结小结展开变化常用于已经分组， 但此分组无法分解因式，当于重新分组。 实践题实践题 4 4 指点迷津指点迷津 实践详解实践详解 xx-1-yy-1 表面上看无法分解因式， 展开后试试 x2-x-y2y。 然后重新分组。 原式 x2-x-y2y x2-y2-x-y xyx-y-x-y x-yxy-1 技巧五技巧五 拆项变换拆项变换 有些多项式缺项， 如最高次数是三次， 无二次项或者无一次项， 但有常数项。 这类问题直接进行分解往往较为困难，往往对部分项拆项，往往拆次数处于中间 的项。 体验题体验题 5 5分解因式 3a3-4a1 指点迷津指点迷津本题最高次是三次，缺二次项。三次项的系数为 3，而一次项的系数 为-4，提公因式后，没法结合常数项。所以我们将一次项拆开，拆 成-3a-a 试试。 体验过程体验过程原式 3a3-3a-a1 3aa2-11-a 3aa1a-1-a-1 a-1[3aa1-1] a-13a 3a-1 另外，也可以拆常数项，将 1 拆成 4-3。 原式3a3-4a4-3 3a3-1-4a-1 3a-1a2a1-4a-1 a-13a23a3-4 2 a-1 3a23a-1 小结小结拆项变化多用于缺项的情况，如整式 3a3-4a1，最高次是三，其它 的项分别是一，零。缺二次项。通常拆项的目的是将各项的系数调 整趋于一致。 实践题实践题 5 5分解因式 3a35a2-2 指点迷津指点迷津三次项的系数为 3，二次项的系数为5，提出公因式a2后。下一步没 法进行了。所以我们将 5a2拆成 3a2 2a2,化为 3a33a22a2-2. 实践详解实践详解原式3a33a22a2-2 3a2a12a2-1 3a2a12a1a-1 a13a22a-2 技巧六技巧六 添项变换添项变换 有些多项式类似完全平方式，但直接无法分解因式。既然类似完全平方式， 我们就添一项然后去一项凑成完全平方式。然后在考虑用其它的方法。 体验题体验题 6 6分解因式 x24x-12 指点迷津指点迷津本题用常规的方法几乎无法入手。与完全平方式很象。因此考虑将 其配成完全平方式再说。 体验过程体验过程原式 x24x4-4-12 x22-16 x22-42 x24x2-4 x6x-2 小结小结添项法常用于含有平方项，一次项类似完全平方式的整式或者是缺 项的整式，添项的基本目的是配成完全平方式。 实践题实践题 6 6 实践详解实践详解 分解因式 x2-6x8 原式x2-6x9-98 x-32-1 x-32-12 x-31x-3-1 x-2x-4 实践题实践题 7 7分解因式 a44 实践详解实践详解原式a44a24-4a2 a222-4a2 a222aa22-2a a22a2a2-2a2 技巧七技巧七 换元变换换元变换 有些多项式展开后较复杂，可考虑将部分项作为一个整体，用换元法，结构 就变得清晰起来了。然后再考虑用公式法或者其它方法。 体验题体验题 7 7 指点迷津指点迷津 体考虑。 体验过程体验过程x1x2x3x41 分解因式 x1x2x3x41 直接展开太麻烦， 我们考虑两两结合。看能否把某些部分作为整 [x1x4][x2x3]1 x25x4x25x61* 令 x25xm. 上式变形为m4m61 m210m241 m52 x 5x5 *式也可以这样变形，令 x25x4m 原式可变为 mm21 m22m1 m12 22 x25x52 小结小结换元法常用于多项式较复杂， 其中有几项的部分相同的情况下。 如上题中 的 x25x4 与 x25x6 就有相同的项 x25x.，换元法实际上是用的整体的 观点来看问题。 实践题实践题 8 8分解因式 xx2x3x59 指点迷津指点迷津将 xx5结合在一起，将x2x3