数列中的奇偶项问题（微专题）（解析版）

1 数列中的奇偶项问题数列中的奇偶项问题( (微专题微专题) ) 题型选讲题型选讲 题型一、 分段函数的奇偶项求和题型一、 分段函数的奇偶项求和 1 1(深圳市罗湖区期末试题)已知数列 an中， a1=2， nan+1- n+1an=1 n∈N N* . (1)求数列 an的通项公式； (2)设bn= an+1,n为奇数, 2an+1,n为偶数，    求数列 bn的前100项和. 【解析】 【小问1详解】 ∵nan+1- n+1an=1,∴ an+1 n+1 - an n = 1 n - 1 n+1 , an+1+1 n+1 = an+1 n ， 所以 an+1 n       是常数列， 即 an+1 n = a1+1 1 =3,∴an=3n-1 ； 【小问2详解】 由(1)知，an是首项为2， 公差为3等差数列， 由题意得b2n-1=a2n-1=6n-4 ， b2n=2a2n+1=12n+4 ， 设数列 b2n-1，b2n的前50项和分别为T1， T2， 所以T1= 50 b1+b99 2 =25×298=7450 ， T2= 50× b2+b100 2 =25×620=15500， 所以 bn的前100项和为T1+T2=7450+15500=22950 ； 综上， an=3n-1 ，bn的前100项和为T1+T2=7450+15500=22950. 1(2023·黑龙江大庆·统考三模)已知数列 an满足a1+3a2+⋯+ 2n-1an=n． (1)证明： 1 an       是一个等差数列； (2)已知cn= 1 19an,n为奇数 anan+2,n为偶数    ， 求数列 cn的前2n项和S2n． 【答案】 (1)证明见详解 (2)S2n= 2n-1n 19 + n 3 4n+3 【详解】 (1)当n=1时， 可得a1=1， 2 当n≥2时， 由a1+3a2+⋯+ 2n-1an=n， 则a1+3a2+⋯+ 2n-3an-1=n-1 n≥2， 上述两式作差可得an= 1 2n-1 n≥2， 因为a1=1满足an= 1 2n-1 ， 所以 an的通项公式为an= 1 2n-1 ， 所以 1 an =2n-1， 因为 1 an - 1 an-1 =2n-1- 2n-3=2(常数)， 所以 1 an       是一个等差数列． (2)cn= 2n-1 19 ,n为奇数 1 2n-12n+3 ,n为偶数    ， 所以C1+C3+⋯C2n-1= 1+5+9+⋯ 4n-3 19 = 2n-1n 19 ， C2+C4+⋯C2n= 1 4 1 3 - 1 7 + 1 7 - 1 11 +⋯+ 1 4n-1 - 1 4n+3  = n 3 4n+3 所以数列 cn的前2n项和S2n= 2n-1n 19 + n 3 4n+3 ． 2(2023·吉林·统考三模)已知数列 an满足an= 2n-2,n为奇数 3n-2,n为偶数    an的前n项和为Sn． (1)求a1， a2， 并判断1024是数列中的第几项； (2)求S2n-1． 【答案】 (1)a1= 1 2 ， a2=4； 1024是数列 an的第342项 (2)S2n-1= 4n 6 +3n2-5n+ 11 6 【详解】 (1)由an= 2n-2,n为奇数 3n-2,n为偶数    可得a1= 1 2 ， a2=4． 令2n-2=1024=210， 解得： n=12为偶数， 不符合题意， 舍去； 令3n-2=1024， 解得： n=342， 符合题意． 因此， 1024是数列 an的第342项． (2)S2n-1=a1+a2+a3+a4+⋅⋅⋅+a2n-2+a2n-1= 1 2 +4+2+10+⋅⋅⋅+ 6n-8+22n-3 = 1 2 +2+⋅⋅⋅+22n-3  + 4+10+⋅⋅⋅+6n-8= 1 2 1-4n 1-4 + n-14+6n-8 2 = 1 6 4n-1+ n-13n-2= 4n 6 +3n2-5n+ 11 6 ． 3 另解： 由题意得a2n-1=22n-3， 又 a2n+1 a2n-1 =4， 所以数列 a2n-1是以 1 2 为首项， 4为公比的等比数列． a2n=6n-2， 又a2n+2-a2n=6， 所以数列 a2n是以4为首项， 6为公差的等差数列． S2n-1为数列 a2n-1的前n项和与数列 a2n的前n-1项和的总和． 故S2n-1= 1 2 1-4n 1-4 + n-14+6n-8 2 = 1 6 4n-1+ n-13n-2= 4n 6 +3n2-5n+ 11 6 . 3(2023·安徽蚌埠·统考三模)已知数列 an满足a1=1， a2n+1=a2n+1， a2n=2a2n-1. (1)求数列 an的通项公式； (2)设Tn= 1 a1 + 1 a2 +⋯+ 1 an ， 求证： T2n3. 【答案】 (1)an= 2 n+1 2 -1,n为奇数, 2 n 2+1-2,n为偶数.    (2)证明见解析. 【详解】 (1)由题意a2n+1=a2n+1=2a2n-1+1, 所以a2n+1+1=2 a2n-1+1, 因为a1+1=2≠0,所以数列 a2n-1+1是首项为2,公比为2的等比数列, 所以a2n-1+1=2n,即a2n-1=2n-1, 而a2n=2a2n-1=2n+1-2, 所以an= 2 n+1 2 -1,n为奇数, 2 n 2+1-2,n为偶数.    (2)方法一： 由(1)得T2n= n i=1 1 a2i-1 + 1 a2i   = 3 2 n i=1 1 2i-1  = 3 2 n i=1 2i+1-1 2i-1 2i+1-1  3 2 n i=1 2i+1 2i-1 2i+1-1  =3 n i=1 2i 2i-1 2i+1-1  =3 n i=1 1 2i-1 - 1 2i+1-1   =3 1- 1 2n+1-1  3 方法二： 因为2n-1≥2n-1n∈N * , 所以T2n=∑ n i=1 1 a2i-1 + 1 a2i  = 3 2 ∑ n i=1 1 2i-1 ≤ 3 2 ∑ n i=1 1 2i-1 =3 1- 1 2n  3 4(2023·湖南邵阳·统考三模)记Sn为等差数列{an}的前n项和， 已知a3=5,S9=81， 数列{bn}满 4 足a1b1+a2b2+a3b3+⋯+anbn= n-1⋅3n+1+3. (1)求数列{an}与数列{bn}的通项公式； (2)数列{cn}满足cn= bn,n为奇数 1 anan+2,n为偶数    ， n为偶数， 求{cn}前2n项和T2n. 【答案】 (1)an=2n-1,bn=3n (2)T2n= 3⋅9n 8 - 1 16n+12 -