数列中的奇偶项问题（微专题）（解析版）

1 数列中的奇偶项问题数列中的奇偶项问题 微专题微专题 题型选讲题型选讲 题型一、 分段函数的奇偶项求和题型一、 分段函数的奇偶项求和 1 1深圳市罗湖区期末试题已知数列 an中， a12， nan1- n1an1 n∈N N* . 1求数列 an的通项公式； 2设bn an1,n为奇数, 2an1,n为偶数，    求数列 bn的前100项和. 【解析】 【小问1详解】 ∵nan1- n1an1,∴ an1 n1 - an n 1 n - 1 n1 , an11 n1 an1 n ， 所以 an1 n       是常数列， 即 an1 n a11 1 3,∴an3n-1 ； 【小问2详解】 由1知，an是首项为2， 公差为3等差数列， 由题意得b2n-1a2n-16n-4 ， b2n2a2n112n4 ， 设数列 b2n-1，b2n的前50项和分别为T1， T2， 所以T1 50 b1b99 2 252987450 ， T2 50 b2b100 2 2562015500， 所以 bn的前100项和为T1T274501550022950 ； 综上， an3n-1 ，bn的前100项和为T1T274501550022950. 12023黑龙江大庆统考三模已知数列 an满足a13a2⋯ 2n-1ann． 1证明 1 an       是一个等差数列； 2已知cn 1 19an,n为奇数 anan2,n为偶数    ， 求数列 cn的前2n项和S2n． 【答案】 1证明见详解 2S2n 2n-1n 19 n 3 4n3 【详解】 1当n1时， 可得a11， 2 当n≥2时， 由a13a2⋯ 2n-1ann， 则a13a2⋯ 2n-3an-1n-1 n≥2， 上述两式作差可得an 1 2n-1 n≥2， 因为a11满足an 1 2n-1 ， 所以 an的通项公式为an 1 2n-1 ， 所以 1 an 2n-1， 因为 1 an - 1 an-1 2n-1- 2n-32常数， 所以 1 an       是一个等差数列． 2cn 2n-1 19 ,n为奇数 1 2n-12n3 ,n为偶数    ， 所以C1C3⋯C2n-1 159⋯ 4n-3 19 2n-1n 19 ， C2C4⋯C2n 1 4 1 3 - 1 7 1 7 - 1 11 ⋯ 1 4n-1 - 1 4n3  n 3 4n3 所以数列 cn的前2n项和S2n 2n-1n 19 n 3 4n3 ． 22023吉林统考三模已知数列 an满足an 2n-2,n为奇数 3n-2,n为偶数    an的前n项和为Sn． 1求a1， a2， 并判断1024是数列中的第几项； 2求S2n-1． 【答案】 1a1 1 2 ， a24； 1024是数列 an的第342项 2S2n-1 4n 6 3n2-5n 11 6 【详解】 1由an 2n-2,n为奇数 3n-2,n为偶数    可得a1 1 2 ， a24． 令2n-21024210， 解得 n12为偶数， 不符合题意， 舍去； 令3n-21024， 解得 n342， 符合题意． 因此， 1024是数列 an的第342项． 2S2n-1a1a2a3a4⋅⋅⋅a2n-2a2n-1 1 2 4210⋅⋅⋅ 6n-822n-3 1 2 2⋅⋅⋅22n-3  410⋅⋅⋅6n-8 1 2 1-4n 1-4 n-146n-8 2 1 6 4n-1 n-13n-2 4n 6 3n2-5n 11 6 ． 3 另解 由题意得a2n-122n-3， 又 a2n1 a2n-1 4， 所以数列 a2n-1是以 1 2 为首项， 4为公比的等比数列． a2n6n-2， 又a2n2-a2n6， 所以数列 a2n是以4为首项， 6为公差的等差数列． S2n-1为数列 a2n-1的前n项和与数列 a2n的前n-1项和的总和． 故S2n-1 1 2 1-4n 1-4 n-146n-8 2 1 6 4n-1 n-13n-2 4n 6 3n2-5n 11 6 . 32023安徽蚌埠统考三模已知数列 an满足a11， a2n1a2n1， a2n2a2n-1. 1求数列 an的通项公式； 2设Tn 1 a1 1 a2 ⋯ 1 an ， 求证 T2n3. 【答案】 1an 2 n1 2 -1,n为奇数, 2 n 21-2,n为偶数.    2证明见解析. 【详解】 1由题意a2n1a2n12a2n-11, 所以a2n112 a2n-11, 因为a112≠0,所以数列 a2n-11是首项为2,公比为2的等比数列, 所以a2n-112n,即a2n-12n-1, 而a2n2a2n-12n1-2, 所以an 2 n1 2 -1,n为奇数, 2 n 21-2,n为偶数.    2方法一 由1得T2n n i1 1 a2i-1 1 a2i   3 2 n i1 1 2i-1  3 2 n i1 2i1-1 2i-1 2i1-1  3 2 n i1 2i1 2i-1 2i1-1  3 n i1 2i 2i-1 2i1-1  3 n i1 1 2i-1 - 1 2i1-1   3 1- 1 2n1-1  3 方法二 因为2n-1≥2n-1n∈N * , 所以T2n∑ n i1 1 a2i-1 1 a2i  3 2 ∑ n i1 1 2i-1 ≤ 3 2 ∑ n i1 1 2i-1 3 1- 1 2n  3 42023湖南邵阳统考三模记Sn为等差数列{an}的前n项和， 已知a35,S981， 数列{bn}满 4 足a1b1a2b2a3b3⋯anbn n-1⋅3n13. 1求数列{an}与数列{bn}的通项公式； 2数列{cn}满足cn bn,n为奇数 1 anan2,n为偶数    ， n为偶数， 求{cn}前2n项和T2n. 【答案】 1an2n-1,bn3n 2T2n 3⋅9n 8 - 1 16n12 -