专题6 极值点偏移六脉神剑之“商阳剑”（教师版）-极值点偏移专题

极值点偏移六脉神剑之“商阳剑” 商阳剑——右手食指-手阳明大肠经。特点：巧妙灵活，难以捉摸。 近几年全国各地的模拟试题、高考试题中频繁出现一类考查函数导数的题型：在给定区间内研究两函数之间的不等关系. 要解决这类问题，往往是直接构造某个新函数，或者分离变量之后构造新的函数，通过研究构造的新函数的单调性来求出最值或者得到我们想要的不等关系. 这一类问题多数与指数函数有关，解题时除了直接构造一元函数求解，还可将问题转化为对数问题，再用对数平均不等式求解，本文对此类问题做一探究. 对点详析，利器显锋芒 ★设函数. (1)若，求的单调区间； (2)若存在三个极值点，且，求的取值范围，并证明:. 【答案】（1）单调减区间为，单调增区间为.（2），证明见解析 【解析】(1) . 令， 得，得， 在上递减，在上递增. 即， 解得，解得， 的单调减区间为，单调增区间为. (2)， 有三个极值点， 方程有两个不等根，且都不是， 令， 时，单调递增，至多有一根， 解得，解得. 在上递减，在上递增， 此时，，，时. 时，有三个根，且， 由得，由得， 下面证明:，可变形为 令， ，在上递增， ， ★已知函数有两个零点.证明：. 法二：参变分离再构造差量函数 由已知得：，不难发现，， 故可整理得： 设，则 那么，当时，，单调递减；当时，，单调递增．学科*网 设，构造代数式： 设， 则，故单调递增，有． 因此，对于任意的，． 由可知、不可能在的同一个单调区间上， 不妨设，则必有 令，则有 而，，在上单调递增，因此： 整理得：． 法三：参变分离再构造对称函数 由法二，得，构造， 利用单调性可证，此处略. 学科*网 法五：利用“对数平均”不等式 参变分离得：，由得，， 将上述等式两边取以为底的对数，得， 化简得：， 故 由对数平均不等式得：， ， 从而 等价于： 由，故，证毕. 内练精气神，外练手眼身 ★已知函数f(x)=(ax+1)ex，a鈭圧. （Ⅰ）当a>0时，证明：f(x)+ae>0； （Ⅱ）当时，如果，且f(x1)=f(x2)，证明：x1+x20时，，由f (x)>0，得x>−a+1a， ∴f(x)在(−鈭?−a+1a)上单调递减，在上单调递增. ∴x=−a+1a时，f(x)取得极小值，即最小值. 当a>0时，a+1a=1+1a>1，−a+1a0， ∴F (x)<0，F(x)单调递减， ∴F(x)