专题11 三角恒等变换与解三角形【多选题】（解析版）-新高考多选题分章节特训

专题11 三角恒等变换与解三角形 1．下面各式中，正确的是（ ） A．B． C．D． 【答案】ABC 【解析】根据两角和与差的正弦公式，直接化简，即可求出结果. ∵，∴A正确； ∵，∴B正确；[来源:学科网ZXXK] ∵，∴C正确； ∵，∴D不正确. 故选ABC 2．在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+b:a+c:b+c=9:10:11，则下列结论正确的是（ ） A．sinA:sinB:sinC=4:5:6B．ΔABC是钝角三角形 C．ΔABC的最大内角是最小内角的2倍D．若c=6，则ΔABC外接圆半径为877 【答案】ACD 【解析】 由已知可设a+b=9xa+c=10 xb+c=11x，求得a=4x,b=5x,c=6x，利用正弦定理可得A正确；利用余弦定理可得cosC>0，三角形中的最大C角为锐角，可得B错误；利用余弦定理可得cosA=34，利用二倍角的余弦公式可得：cos2A=cosC，即可判断C正确，利用正弦定理即可判断D正确；问题得解. 因为a+b:a+c:b+c=9:10:11 所以可设：a+b=9xa+c=10 xb+c=11x（其中x>0），解得：a=4x,b=5x,c=6x 所以sinA:sinB:sinC=a:b:c=4:5:6，所以A正确； 由上可知：c边最大，所以三角形中C角最大，[来源:Zxxk.Com] 又cosC=a2+b2-c22ab=4x2+5x2-6x22×4x×5x=18>0，所以C角为锐角，所以B错误； 由上可知：a边最小，所以三角形中A角最小，[来源:学科网ZXXK] 又cosA=c2+b2-a22cb=6x2+5x2-4x22×6x×5x=34， 所以cos2A=2cos2A-1=18,所以cos2A=cosC 由三角形中C角最大且C角为锐角可得：2A∈0,π，C∈0,π2 所以2A=C，所以C正确； 由正弦定理得：2R=csinC，又sinC=1-cos2C=378 所以2R=6378，解得：R=877，所以D正确； 故选：ACD 3．设函数，则( ) A．是偶函数B．在单调递减 C．最大值为2D．其图像关于直线对称 【答案】ABD 【解析】利用辅助角公式、诱导公式化简函数的解析式，然后根据余弦函数的性质对四个选项逐一判断即可. . 选项A：，它是偶函数，本说法正确； 选项B：，所以，因此是单调递减，本说法正确； 选项C：的最大值为，本说法不正确； 选项D：当时，，因此当时，函数有最小值，因此函数图象关于对称，本说法正确. 故选：ABD 4．下面选项正确的有（ ） A．存在实数，使； B．若是锐角的内角，则； C．函数是偶函数； D．函数的图象向右平移个单位，得到的图象. 【答案】ABC 【解析】依次判断各个选项，根据的值域可知存在的情况，则正确；根据，结合角的范围和的单调性可得，则正确；利用诱导公式化简函数解析式，利用偶函数定义可判断得到正确；根据三角函数左右平移求得平移后的解析式，可知错误. 选项：，则 又 存在，使得，可知正确； 选项：为锐角三角形 ，即 ，又且在上单调递增 ，可知正确； 选项：，则，则为偶函数，可知正确； 选项：向右平移个单位得：，可知错误. 5．已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．最小正周期是B．是偶函数C．在上递增 D．是图象的一条对称轴E.的值域是 【答案】ABCE 【解析】利用同角三角函数、二倍角公式可化简函数为；根据余弦型函数最小正周期、奇偶性、单调性、对称轴和值域的求解方法依次判断各个选项即可. 最小正周期，正确； 为偶函数，正确； 当时，，此时单调递增 单调递增，正确； 当时，，不是的对称轴，错误； ，即值域为，正确. 故选： 6．已知，，，则下列说法正确的是（ ） A．B．C． D．E. 【答案】AC 【解析】根据题意，得到，两式分别平方相加，根据两角差的余弦公式，得到，可判断AB；根据，结合题意，得到，求出，即可判断出结果. 由已知，得. 两式分别平方相加，得. ∴，∴，∴A正确；B错误. ∵，∴，∴，∴C正确，D、E错误， 故选：AC. 7．在△ABC中，给出下列4个命题，其中正确的命题是 A．若A1tan2BD．Acos2B 【答案】ABD 【解析】利用正弦定理和同角关系对每一个选项分析判断得解. A. 若A1-sin2B所以cos2A>cos2B,故该选项正确. 故选：A,B,D. 8．已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（ ） A．若，则一定是等边三角形 B．若，则一定是等腰三角形 C．若，则一定是等腰三角形 D．若，则一定是锐角三角形 【答案】AC 【解析】利用正弦定理可得，可判断；由正弦定理可得，可判断；由正弦定理与诱导公式可得，可判断；由余弦定理可得角为锐角，角不一定是锐角，可判断. 由，利用正弦定理可得，即，是等边三角形，正确； 由正弦定理可得，或， 是等腰或直角三角形，不正确； 由正弦定理可得，即， 则等腰三角形，正确；[来源:学,科,网] 由正弦定理可得，角为锐角，角不一定是锐角，不正确，故选AC. 9．ΔABC中,AB=c，BC=a，CA=b,在下列命题中,是真命题的有( ) A．若a⋅b>0，则ΔABC为锐角三角形 B．若a⋅b=0.则ΔABC为直角三角形 C．若a⋅b=c⋅b,则ΔABC为等腰三角形 D．若(a+c-b)⋅(a+b-c)=0,则ΔABC为直角三角形 【答案】BCD 【解析】由平面向量数量积的运算及余弦定理，逐一检验即可得解． 如图所示， ΔABC中，AB=c，BC=a，CA=b， ①若a·b>0，则∠BCA是钝角，ΔABC是钝角三角形，A错误； ②若a·b=0，则BC⊥CA，ΔABC为直角三角形，B正确； ③若a·b=c·b，b·(a-c)=0，CA·(BC-AB)=0，CA·(BC+BA)=0，取AC中点D，则CA·BD，所以BA=BC，即ΔABC为等腰三角形，C正确， ④若(a+c-b)·(a+b-c)=0，则a2=(c-b)2，即b2+c2-a2=2b·c，即b2+c2-a22|b||c|=-cosA， 由余弦定理可得：cosA=-cosA，即cosA=0，即A=π2，即ΔABC为直角三角形，即D正确