专题11 三角恒等变换与解三角形【多选题】(解析版)-新高考多选题分章节特训
专题11 三角恒等变换与解三角形 1.下面各式中,正确的是( ) A.B. C.D. 【答案】ABC 【解析】根据两角和与差的正弦公式,直接化简,即可求出结果. ∵,∴A正确; ∵,∴B正确;[来源学科网ZXXK] ∵,∴C正确; ∵,∴D不正确. 故选ABC 2.在ΔABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且abacbc91011,则下列结论正确的是( ) A.sinAsinBsinC456B.ΔABC是钝角三角形 C.ΔABC的最大内角是最小内角的2倍D.若c6,则ΔABC外接圆半径为877 【答案】ACD 【解析】 由已知可设ab9xac10 xbc11x,求得a4x,b5x,c6x,利用正弦定理可得A正确;利用余弦定理可得cosC0,三角形中的最大C角为锐角,可得B错误;利用余弦定理可得cosA34,利用二倍角的余弦公式可得cos2AcosC,即可判断C正确,利用正弦定理即可判断D正确;问题得解. 因为abacbc91011 所以可设ab9xac10 xbc11x(其中x0),解得a4x,b5x,c6x 所以sinAsinBsinCabc456,所以A正确; 由上可知c边最大,所以三角形中C角最大,[来源Zxxk.Com] 又cosCa2b2-c22ab4x25x2-6x224x5x180,所以C角为锐角,所以B错误; 由上可知a边最小,所以三角形中A角最小,[来源学科网ZXXK] 又cosAc2b2-a22cb6x25x2-4x226x5x34, 所以cos2A2cos2A-118,所以cos2AcosC 由三角形中C角最大且C角为锐角可得2A∈0,π,C∈0,π2 所以2AC,所以C正确; 由正弦定理得2RcsinC,又sinC1-cos2C378 所以2R6378,解得R877,所以D正确; 故选ACD 3.设函数,则 A.是偶函数B.在单调递减 C.最大值为2D.其图像关于直线对称 【答案】ABD 【解析】利用辅助角公式、诱导公式化简函数的解析式,然后根据余弦函数的性质对四个选项逐一判断即可. . 选项A,它是偶函数,本说法正确; 选项B,所以,因此是单调递减,本说法正确; 选项C的最大值为,本说法不正确; 选项D当时,,因此当时,函数有最小值,因此函数图象关于对称,本说法正确. 故选ABD 4.下面选项正确的有( ) A.存在实数,使; B.若是锐角的内角,则; C.函数是偶函数; D.函数的图象向右平移个单位,得到的图象. 【答案】ABC 【解析】依次判断各个选项,根据的值域可知存在的情况,则正确;根据,结合角的范围和的单调性可得,则正确;利用诱导公式化简函数解析式,利用偶函数定义可判断得到正确;根据三角函数左右平移求得平移后的解析式,可知错误. 选项,则 又 存在,使得,可知正确; 选项为锐角三角形 ,即 ,又且在上单调递增 ,可知正确; 选项,则,则为偶函数,可知正确; 选项向右平移个单位得,可知错误. 5.已知函数,则下列说法正确的是( ) A.最小正周期是B.是偶函数C.在上递增 D.是图象的一条对称轴E.的值域是 【答案】ABCE 【解析】利用同角三角函数、二倍角公式可化简函数为;根据余弦型函数最小正周期、奇偶性、单调性、对称轴和值域的求解方法依次判断各个选项即可. 最小正周期,正确; 为偶函数,正确; 当时,,此时单调递增 单调递增,正确; 当时,,不是的对称轴,错误; ,即值域为,正确. 故选 6.已知,,,则下列说法正确的是( ) A.B.C. D.E. 【答案】AC 【解析】根据题意,得到,两式分别平方相加,根据两角差的余弦公式,得到,可判断AB;根据,结合题意,得到,求出,即可判断出结果. 由已知,得. 两式分别平方相加,得. ∴,∴,∴A正确;B错误. ∵,∴,∴,∴C正确,D、E错误, 故选AC. 7.在△ABC中,给出下列4个命题,其中正确的命题是 A.若AB,则sinAsinBB.若sinAsinB,则AB C.若AB,则1tan2A1tan2BD.AB,则cos2Acos2B 【答案】ABD 【解析】利用正弦定理和同角关系对每一个选项分析判断得解. A. 若AB,则ab,2RsinA2RsinB,所以sinAsinB,所以该选项是正确的; B. 若sinAsinB,∴a2Rb2R,∴ab,则AB,所以该选项是正确的; C. 若AB,设Aπ3,Bπ6,∴1tan2A0,1tan2B0,所以该选项错误. D. AB,则sinAsinB,sin2Asin2B,∴-sin2A-sin2B,∴1-sin2A1-sin2B所以cos2Acos2B,故该选项正确. 故选A,B,D. 8.已知的内角所对的边分别为,下列四个命题中正确的命题是( ) A.若,则一定是等边三角形 B.若,则一定是等腰三角形 C.若,则一定是等腰三角形 D.若,则一定是锐角三角形 【答案】AC 【解析】利用正弦定理可得,可判断;由正弦定理可得,可判断;由正弦定理与诱导公式可得,可判断;由余弦定理可得角为锐角,角不一定是锐角,可判断. 由,利用正弦定理可得,即,是等边三角形,正确; 由正弦定理可得,或, 是等腰或直角三角形,不正确; 由正弦定理可得,即, 则等腰三角形,正确;[来源学,科,网] 由正弦定理可得,角为锐角,角不一定是锐角,不正确,故选AC. 9.ΔABC中,ABc,BCa,CAb,在下列命题中,是真命题的有 A.若a⋅b0,则ΔABC为锐角三角形 B.若a⋅b0.则ΔABC为直角三角形 C.若a⋅bc⋅b,则ΔABC为等腰三角形 D.若ac-b⋅ab-c0,则ΔABC为直角三角形 【答案】BCD 【解析】由平面向量数量积的运算及余弦定理,逐一检验即可得解. 如图所示, ΔABC中,ABc,BCa,CAb, ①若ab0,则∠BCA是钝角,ΔABC是钝角三角形,A错误; ②若ab0,则BC⊥CA,ΔABC为直角三角形,B正确; ③若abcb,ba-c0,CABC-AB0,CABCBA0,取AC中点D,则CABD,所以BABC,即ΔABC为等腰三角形,C正确, ④若ac-bab-c0,则a2c-b2,即b2c2-a22bc,即b2c2-a22|b||c|-cosA, 由余弦定理可得cosA-cosA,即cosA0,即Aπ2,即ΔABC为直角三角形,即D正确