专题13 一次绝对值函数-妙解高考数学填选压轴题

专题13 一次绝对值函数 【方法点拨】 1. 几个常见的含绝对值的一次函数的图象与性质: ⑴的图象关于直线对称，且函数的最小值为； ⑵的图象关于直线对称，且函数的最小值为； ⑶的图象关于点对称，且函数的值域为． （） （） 2. 含绝对值的一次函数的求解策略: （1）根据绝对值的代数意义，利用 “零点分域讨论法”去绝对值，化为分段函数； （2）有时也可根据绝对值的几何意义，转化为x轴上动点到一些定点距离的和. 3. 一般地，设a1≤a2≤a3≤…≤an(n∈N*)，f(x)=|x－a1|+|x－a2|+|x－a3|+…+|x－an|． 若n为奇数，当x=时，f(x)取最小值；若n为偶数，则x∈时，f(x)取最小值． 即中间值或中间区间上取最值. 【典型题示例】 例1 (2022·浙江·9)已知，若对任意，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】将问题转换为，再结合画图求解． 【解析】由题意有：对任意的，有恒成立． 设，， 由恒成立，即的图像恒在的上方（可重合），如下图所示： 由图可知，，，或，， 故选：D． 例2 若对于任意实数x和任意正实数a、b，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 . 【答案】或 【分析】根据基本不等式易求得，故问题转化为对于任意实数x恒成立，即求m的取值范围，使函数的最小值为，可利用函数的图象或直接使用绝对值的几何意义求解. 【解析】令 则 所以 不等式恒成立，即恒成立 对于多个一次绝对值函数求最值可以分解为： 设，对于3个绝对值相加，取得最小值一定是三个绝对值零点的中间值， 如上述函数，中间零点是，所以上述函数当取得最小值， 所以，解得或. 【巩固训练】 1.设函数的图像关于直线对称，则的值为________. 2.函数的最小值为__________. 3.已知函数有最小值，则实常数的取值范围是 . 4.函数在上有最大值，则实数的取值范围是___ 5. 设函数， 且，则满足条件的所有整数的和是__________. 6. 已知函数f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|100 x-1|，则当x= 时，f(x)取得最小值． 【答案或提示】 1.【答案】3 【提示】的图象关于直线对称，故，解得. 2.【答案】 【提示】利用绝对值的几何意义，知即x轴上动点到1,2,3，···，19距离之和，当时，此时. 3.【答案】 【提示】直接去绝对值. 4.【答案】 【提示】直接去绝对值. 5.【答案】6 【解析】易得是偶函数， 故或 则或 又，所以也满足题意，故答案为6. 6.【答案】 【解析】f(x)=， f(x)共表示为5050项的和，其最中间两项均为． x=，同时使第1项|x-1|与第5050项的和，第2项与第5049项的和，第3项与第5048项的和，…，第2525项与第2526项的和，取得最小值．故所求的x为．