20柱全国高中数学新课程创新教学设计优秀案例

2020 柱、锥、台体的体积柱、锥、台体的体积 教材分析教材分析 这节内容是在学完多面体与旋转体的概念、性质、画法、侧面积、表面积以后，在体积 概念与体积公理的基础上，研究柱、锥、台体的体积．其中柱体体积是基础，并且由柱体体 积可推导出锥体体积，而根据锥体体积又可得出台体体积．柱、锥、 台体的体积是立体几何 的重要内容，是历年高考的重点．通过这节知识的学习，既要使学生知道三种几何体体积的 公式， 又要让学生知道这些公式是怎么得出的． 三种几何体的体积公式的推导是教学的重中 之重． 教学目标教学目标 1. 使学生掌握柱、锥、台体的体积公式及其初步应用． 2. 通过对三种几何体体积公式的探索，使学生学会观察、类比、归纳、猜想等方法， 培养学生分析、抽象、概括及逻辑推理能力． 3. 通过三种几何体体积公式的探索，培养学生独立思考、刻苦钻研、孜孜以求的毅力 及勇于探索、创新的精神． 任务分析任务分析 对于体积这一内容，学生早在小学就有了初步认识， 如长方体的体积公式． 但如何推导 锥、台体体积是目前的重要任务． 三种几何体的体积公式的推导有着密切的联系， 教学时要 不断强化三者之间的关系，强化借助用已知来研究未知这种探索问题的一般性的研究方 法．柱、锥体体积公式推导的理论基础是祖原理．为此，必须将祖 原理要求的三个条件务 必要落实到位，只有这样，棱柱、圆柱与长方体之间的体积转化以及一般棱锥与三棱锥之间 的体积转化才能水到渠成． 三棱锥体积公式的推导是本节的重点， 也是难点．要充分利用多 媒体，通过课件演示，生动形象地表现三棱锥与三棱柱体积之间的关系， 让学生充分体会割 补变换这一数学思想．最后，利用台体的定义，并紧扣台体与锥体的关系，求出台体体积． 教学设计教学设计 一、问题情景一、问题情景 在多媒体屏幕上播出阿基米德利用水来辨别金王冠纯度高低的故事． 通过这个故事教师 指出，在古代，人们就对体积的求法进行了探索． 接着指出我国古代在公元5 世纪对体积曾 进行过比较深入的研究，引出祖 原理． 二、建立模型二、建立模型 （一）祖 原理 在屏幕上显示祖 原理． 教师强调这个原理在欧洲直到17 世纪才被意大利的卡瓦列里提出，比祖 之晚 1100 年 以上，目的在于激发学生的爱国热情． 1. 学生讨论 教师启发能否根据原理的思想，利用手中的课本等道具把这个原理解释一下． 2. 练习 设有底面积与高都相等的长方体和六棱柱，思考这两个几何体的体积有何关系． 说明：由于祖 原理条件比较复杂，学生不易弄清，教师要把已知条件分析清： （1）这 两个几何体夹在两个平行平面之间．（2）用平行于两个平行平面的任一平面去截两几何体 可得两个截面．（3）两个截面的面积相等．只有这三个条件都具备，才能得出两个几何体 的体积相等． （二）柱体体积公式的推导 ［问［问题］题］ 设有底面积都等于 S，高都等于h 的任意一个棱柱，一个圆柱，如何求这两个几何体的 体积？ 为了把这个问题让学生水到渠成地想出来，可以提出以下几个阶梯性的问题． （1）柱体体积公式目前不知道，那么同学们会求什么特殊几何体的体积呢？ （2）根据刚才对祖 原理的研究发现，如果两个几何体满足祖 原理中的三个条件，那 么这两个几何体的体积就可以相互转化．柱体的体积公式目前不会求，能否利用祖 原理把 目标几何体的体积转化为长方体的体积呢？教师进一步引导： 构造一长方体， 使已知的棱柱、 圆柱与构造的长方体满足祖 原理的条件． （3）长方体如何出现呢？ 让学生讨论得出：已知棱柱、圆柱目前已经夹在两平行平面之间， 并且底面积相等，所 以只要在两平行平面之间放一个与前面两几何体底面积相等、 高相等的长方体即可． 根据祖 原理这三个几何体的体积相等， 而长方体体积可以利用底面积乘高求得， 故两目标几何体的 体积也就得出了． 教师在大屏幕上显示推导过程：先把棱柱放在两平行平面之间，然后再让长方体出现， 最后动态地显示三个几何体被平行于两个平行平面的任一平面去截两几何体可得三个截面； 三个截面的面积相等． 教师明晰：柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积S 和高 h 的积，即 V 柱体＝Sh． ［练［练习］习］ 已知一圆柱的底面半径 r，高是 h，求圆柱的体积． 教师明晰：底面半径为 r，高为 h 的圆柱的体积 V 圆柱＝Sh＝πr 2h． （三）锥体体积公式的推导 1. 等底面积等高的两个锥体的体积的关系 ［问［问题］题］ （1）刚才我们利用祖 原理获得了等底面积等高的柱体与长方体（两个柱体）等体积， 那么等底面积等高的两个锥体的体积之间有什么关系呢？ （2）你们怎么知道它们的体积是相等的？ （有的学生会说是估计的） （3）能证实你们估计的结论（猜想）吗？ （有了前面连续两次用祖 原理证明等底等高的两个柱体体积相等，学生的这个猜想就 比较容易再次利用祖 原理来证明） 师生共同分析：用祖 原理． 设有任意两个锥体，不妨选取一个三棱锥，一个圆锥，并设它们的底面积都是S，高都 是 h（如图 20-1）． （1）把这两个锥体的底面放在同一个平面α 上．由于它们的高相等，故它们的顶点必 在与 α 平行的同一个平面 β 上，即这两个锥体可夹在两个平行平面α，β 之间． （2）用平行于平面 α 的任意平面去截这两个锥体，设截面面积分别为S1，S2，截面和 顶点的距离是 h1，体积分别为 V1，V2，则由锥体平行于底面的截面性质，知 ．所以，故 S1＝S2．由祖 原理，知 V1＝V2． （学生叙述，教师板书） 结论：如果两个锥体的底面积相等，高也相等，那么它们的体积相等． 教师明晰：等底面积等高的两个锥体的体积相等． （由学生提出问题、分析问题并解决问题，这是对学生高层次的要求． 当学生达不到这 个层次时，可由教师提出问题，学生分析问题和解决问题．教师提出问题后要给学生观察、 比较、分析、归纳、猜想、发现的时间．著名数学教育家波利亚曾提出：只要数学的学习过 程稍能反映出数学发明的过程， 那么就应当让猜想、合情推理占有适当的位置． 猜想后还要 严格地证明，合情推理与逻辑推理并重，既教证明又教猜想，这才是解决问题的完整过程） 2. 锥体体积公式的推导 教师启发： 上述定理只是回答了具有等底面积、 等高的两个锥体的体积之间的相等关系， 但这个体积如何求出， 能否像柱体那样有一个体积公式仍然是一个谜． 然而它给了我们一个 求锥体体积的有益启示： 只须找到一个“简单”的锥体作为代表， 如果这个代表的体积求出来 了，那么，根据等底面积等高的两个锥体的体积即可获得其他锥体的体积． ［问［问题］题］ （1）用怎样的“简单”锥体作代表来研究呢？ （2）如何求这类锥体的体积呢？ （此时学生思考受阻，可由教师启发） （3）任何新知识都是在已知旧知识的基础上发展起来的，现在我们已经能求出柱体的 体积．那么三棱锥的体积能否借助柱体的体积公式来求呢？ 教师启发：可以尝试补成三棱柱，然后考虑三棱锥与三棱柱之间体积的关系． 此时应该给学生留出充分的时间， 让他们在练习本上把如图20-2 三棱锥 A′—ABC 以底 面△ABC 为底面，AA′为侧棱补成一个三棱柱 ABC—A′B′C′． 教师利用多媒体把这个三棱柱补出来（在屏幕