22二次函数与一元二次方程教学设计

22.2 二次函数与一元二次方程 一、内容和内容解析一、内容和内容解析 1 1．内容．内容 二次函数与一元二次方程的联系． 2 2．内容解析．内容解析 模型思想、几何直观都是《义务教育数学课程标准（ 2011 年版） 》提出的10 个核心概念之一．二次函 数和一元二次方程都是重要的数学模型，也是进一步学习其他函数的基础．利用函数图象研究方程的根， 是培养学生几何直观的重要途径． 二次函数和一元二次方程之间的内在联系十分突出．一元二次方程 ax ＋bx＋c＝0（a≠0）的解是二次 函数 y＝ax ＋bx＋c 的零点，其几何意义是二次函数的图象与 x 轴的公共点的横坐标．一元二次方程 ax ＋ bx＋c＝0（a≠0）的根的分布与抛物线 y＝ax ＋bx＋c 与 x 轴的位置关系相关联． 综上所述，本节课的教学重点是：理解一元二次方程根的几何意义；掌握解抛物线与x 轴的位置关系 与一元二次方程根的情况之间的对应关系． 本节课通过创设情境，经过问题情境一般化构造二次函数模型；问题情境特殊化创建一元二次方程； 问题解决再归纳的过程，使学生得出二次函数与一元二次方程的联系，从而实现重点的突出. 2 22 2 二、目标和目标解析 1 1．目标．目标 （1）理解一元二次方程的根的几何意义（抛物线与 x 轴的公共点的横坐标）. （2）掌握抛物线与 x 轴的三种位置关系对应着一元二次方程的根的三种情况. （3）会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解． 2 2．目标解析．目标解析 22达成目标（1）的标志是：抛物线 y＝ax ＋bx＋c（a≠0）与 x 轴公共点的横坐标和一元二次方程 ax ＋bx＋c＝0（a≠0）的实数根，学生知道其中的一个能说出另一个． 达成目标（2）的标志是：抛物线y＝ax ＋bx＋c（a≠0）与x 轴公共点的个数和一元二次方程 ax ＋bx ＋c＝0（a≠0）实数根的情况，学生能根据其中的一个说出另一个． 达成目标（3）的标志是：学生能根据抛物线 y＝ax ＋bx＋c（a≠0）的图象，利用“二分法”求出一 元二次方程 ax ＋bx＋c＝0（a≠0）的近似解． 2 2 22 三、教学问题诊断分析 在八年级下册， 学生通过一次函数与方程、 不等式的学习已经初步建立方程模型与函数模型的联系． 在 九年级上册，学生已经分别学习了一元二次方程、二次函数，知道它们都是刻画现实问题中数量关系的重 要模型，但没有建立这些知识之间的有效联系．而且二次函数与一元二次方程之间的联系看似简单，但想 要用简洁的语言归纳出来并非易事． 基于以上分析，归纳总结二次函数与一元二次方程之间的联系是本节课的难点． 初三学生的推理和归纳能力已经有了明显的发展，因此为了学生能够由特殊到一般地进行归纳二次函 数与一元二次方程的关系，设计出表格并组织示范性语言，为学生归纳结论做铺垫，从而实现难点的突破 . 四、教学策略分析 采用启发式和探究式进行教学 在探究二次函数与一元二次方程的关系中， 从实际问题引入， 激发学生的学习兴趣， 教师与学生互动， 示范探究的流程，学生根据流程自主探究并展示成果，教师整理学生探究的结果，启发学生找出二次函数 与一元二次方程的联系. 用简洁的语言表达出二次函数与一元二次方程的联系比较困难，为了方便学生得出结论，根据直观性 原则，设计图表，用“问题串”引导学生，并利字体的颜色区别来辅助学生归纳与表达. 在估计一元二次方程的近似根的过程中，采取用几何画板软件显示函数图象，标识相应点的坐标，便 于学生接受估值的方法． 五、教学过程 1.创设情境创设情境 发现联系发现联系 在里约赛场上，冯珊珊以274 杆、总杆数低于标准杆10 杆的成绩摘得铜牌，而这也是 中国军团首次夺得奥运会高尔夫奖牌.如图 1，如果以40m/s 的速度将小球沿与地面成30° 角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h （单位：m）与飞行的时间t（单位：s）之间具有函数关系 h  20t 5t2 考虑以下问题： （1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需 要多少飞行时间？ （2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需 要多少飞行时间？ （3）球的飞行高度能否达到20.5m？ 为什么？ （4）球从飞出到落地要多少时间？ 师生活动：师生活动：对于这样几个问题，学生会解决，但是思考的方向需要老师引导，因此教师 与学生互动完成第（1）题并引导得出结论，而后学生讨论完成问题（ 2）——（4）.最后老 师将解决问题的过程整理到图表中，引导学生自己得出结论. 设计意图：设计意图：创设情境，渗透了爱国主义教育，从实际问题引入，让学生感受数学来源于 生活.通过本活动，让学生感知二次函数与一元二次方程有密切的联系，为后面深入讨论二 次函数与一元二次方程做好了铺垫. 2. .思考问题思考问题 归纳结论归纳结论 下列二次函数的图象与 x 轴有公共点吗？如果有， 公共点的横坐标是多少？当x 取公共 点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？ （1）y  x  x2 图象与 x 轴 函数图象 交点个数 抛物线与 x 轴交点 横坐标 当 x 取公共 点 的 横 坐 标时，函数 值是多少 y=0 时对 应的一元 二次方程 实数根 一 元 二 次 方 程 实 数 根的情况 2 图 1 （2）y  x 6x9 2 （3）y  x  x1 2 二次函数 y=x +x-2 2 y=x -6x+9 2 y=x -x+1 2 归纳 一般地，从二次函数y  ax bxc的图象可得如下结论. （1）如果抛物线y  ax bxc与 x 轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当 2 2 x  x 0 时，函数值是_______，因此x  ___是方程ax2bxc  0的一个根. （2）二次函数y  ax bxc的图象与 x 轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个 公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程ax bxc  0的根的三种情况：_____ _______________________________________________________________________________ 师生活动：师生活动：第（1）个函数教师按照问题的顺序进行提问，学生回答，教师将答案填入 表格中， 并引导学生得出二次函数与相应的一元二次方程的一种联系.第 （2） 个活动与第 （3） 个活动由学生分小组合作交流完成，并展示成果.最后由教师将学生的成果整理，并引导学 生得出二次函数与一元二次方程的联系. 设计意图：设计意图：利用表格为学生搭桥，引导学生寻找二次函数与一元二次方程的联系. 3. .运用图象运用图象 估计求根估计求根 例 利用函数图象求方程x 2x2  0的实数根（结果保留小数点后一位）. 2 2 2 师生活动：师生活动：教师给学生示范，利用“二分法”确定一元二次方程的实数根，然后让学生 根据此方法小组配合计算，同时告诉学生计算结束的判定标准，最后由学生展示结果. 设计意图：设计意图：学生能够能结合二次函数图象，使用“二分法”求一元二次方程实数根的近 似