2019年七年级数学思维拓展训练校本教材

七年级上数学思维拓展训练七年级上数学思维拓展训练 第一章第一章兴趣数学兴趣数学 七桥问题（一笔画问题）七桥问题（一笔画问题） 18 世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥。如图 1 所示： 河中的小岛 A 与河的左岸 B、右岸 C 各有两座桥相连结，河中两支流间的陆地 D 与 A、 B、C 各有一座桥相连结。当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一 次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案， 但是谁也解决不了这个问题。 七桥问题引起了著名数学家欧拉（1707—1783）的关注。他把具体七桥布局化归 为图所示的简单图形，于是，七桥问题就变成一个一笔画问题：怎样才能从 A、B、C、 D 中的某一点出发，一笔画出这个简单图形（即笔不离开纸，而且a、b、c、d、e、f、 g 各条线 只画一次不准重复） ，并且最后返回起点？ 欧拉经过研究得出的结论是：图是不能一笔画出的图形。这就是说，七桥问题是 无解的。这个结论是如何产生呢？ 如果我们从某点出发，一笔画出了某个图形，到某一点终止，那么除起点和终点 外，画笔每经过一个点一次，总有画进该点的一条线和画出该点的一条线，因此就有 两条线与该点相连结。 如果画笔经过一个 n 次， 那么就有 2n 条线与该点相连结。 因此， 这个图形中除起点与终点外的各点，都与偶数条线相连。 如果起点和终点重合，那么这个点也与偶数条线相连；如果起点和终点是不同的 两个点，那么这两个点部是与奇数条线相连的点。 综上所述，一笔画出的图形中的各点或者都是与偶数条线相连的点，或者其中只 有两个点与奇数条线相连。 图 2 中的 A 点与 5 条线相连结，B、C、D 各点各与 3 条线相连结，图中有4 个与奇 数条线相连的点，所以不论是否要求起点与终点重合，都不能一笔画出这个图形。 欧拉定理欧拉定理：：如果一个图是连通的并且奇顶点的个数等于如果一个图是连通的并且奇顶点的个数等于 0 0 或或 2 2，， 那么它可以一笔画出；否则它不可以一笔画出。那么它可以一笔画出；否则它不可以一笔画出。 一笔画： ■⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最 后一定能以这个点为终点画完此图。 ■⒉凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点） ，一定可以一笔画成。画时必须把一 个奇点为起点，另一个奇点终点。 ■⒊其他情况的图都不能一笔画出。(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。) 1 练习：练习：你能笔尖不离纸，一笔画出下面的每个图形吗？试试看。 （不走重复线路） 图例图例 1 1 图例图例 2 2 图例图例 3 3 图例图例 4 4 2 第二章第二章 绝对值绝对值 知识回顾：知识回顾： 绝对值的意义 （1） 代数意义:一个正数的绝对只是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0 的 绝对值是 0. （2） 几何意义：一个数的绝对值是表示这个数的点在数轴上离开原点的距离。 1、绝对值的常用性质： ⑴非负性：任何一个数的绝对值都是非负数，即|a|≥0. ⑵双解性：绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数（ 0 除外） ，即若|x|＝a﹙a ＞0﹚则 x＝±a. ⑶|－a|＝|a|⑷|a|≥a⑸(|a|)²＝|a²|﹦a² a a ⑹|ab|﹦|a|•|b|⑺|﹙b≠0﹚ bb 解题技巧：解题技巧： 解答绝对值问题，常用的思维方法有： 1、分类讨论思想：去掉含字母的绝对值时，需要对字母取值加以讨论。 2、数形结合思想：绝对值问题通常会和数轴联系在一起。 3、 零点分段法：多个绝对值化简时常用。 教学过程：教学过程： 【基础知识检测：【基础知识检测： 】】 1、有理数的绝对值一定是 （）A、正数 B、整数 C、正数或零 D、自然 数 2、绝对值等于它本身的数有 （） A、0 个 B、1 个 C、2 个 D、无数 个 11 3、3等于 （）A、3B、－3C、D、 33 4、若a与 2 互为相反数，则|a＋2|等于( ) A、0 B、－2 C、2D、4 5、|x|=2,则这个数是（） A.2 B.2 和－2 C.－2D.以上都错 6、|a|=－a，则a一定是（） 7、A.负数B.正数 C.非正数 D.非负数 7、一个数在数轴上对应点到原点的距离为m，则这个数为（） A.－mB.m C.±mD.2m 8、如果一个数的绝对值等于这个数的相反数，那么这个数是（） A.正数B.负数 C.正数、零D.负数、零 9、-4 的的相反数是___,-4 的倒数是___,-4 的绝对值是___,-4 倒数的相反数是___,-4 倒数的绝对值是___,-4 倒数的相反数的绝对值是___ 10、当a  0时，a＝_________，当a  0时，a＝_________， 、如果a  3，则a3＝ __________，3a＝___________. 【典例解析：【典例解析： 】】 ★★ 一一. .求未知数求未知数 3 例例 1 1：：若a 5，，则a 。若a 0，则a  思考提示：根据绝对值定义：数轴到原点距离是 5 和 0 的点有几个？是多少？ 变式变式 1:1:若x  9，，则x ； 若x  2.8，则x ； 若x  2，则x ； 变式变式 2 2：：若 x2 5，则x  若2x1 3.5，则x 。 ★★ 二二. .非负数的性质应用非负数的性质应用 例例 2 2：：若a3  b2  0，则a b 。思考提示：两个最小是 0 的数加在一起 等于 0 说明什么呢？ 变式：变式：1 1：非负数类型玩花样：：非负数类型玩花样：若a1 b 2  0，则ab 22009 。 变式：变式：2 2：变量个数不断增加：：变量个数不断增加：若x3  y1  z5  0，则x  y  z 。 总结：若干非负数之和为总结：若干非负数之和为 0 0，，。。 ★★ 三三. .数轴上两点间的距离公式：若数轴上两点数轴上两点间的距离公式：若数轴上两点 A,B所表示的数为 所表示的数为 a,b ，则，则 A,B两点间 两点间 的距离为的距离为 ab 例例 3 3．． （距离问题） 观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4 与 2， 3 与 5，  2与 6， 4与 3. 并回答下列各题： （1） 你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答： ___ . （2）若数轴上的点 A 表示的数为x，点 B 表示的数为―1，则 A 与 B 两点间的距 离 可以表示为 ________________. （3）结合数轴求得x2  x3的最小值为，取得最小值时x的取值范围 为 ___. （4） 满足x 1  x  4  3的x的取值范围为 ______ . （5）若x 1  x 2  x 3  ★★ 四四. .绝对值的最值问题绝对值的最值问题 4  x 2008的值为常数，试求x的取值范围． 例例 4.4.（1）当x取何值时，x3有最小值？这个最小值是多少？（2）当x取何值时，