2017清华大学29标准学术能力测试题

2017 清华大学 4.29 标准学术能力测试题 1、a 1a2 a 9 是数字 1 到 9 的一个排列，则a1a2a3 a4a5a6a7a8a9的最小值为（） D．216A．213B．214C．215 【答案】【答案】B 分析：分析：a 1,a2 1离散的数 a 9  9!三元均值 0靠近之值 【解析】设a 1a2a3  a 4a5a6  a 7a8a9 =M则由三元均值 M 33a 1 •a 2 a 9 339! 370 67 0 89 9! 6!789  720789  490070  703 12345 00△★ M  707272  214 ★★△△ 由题可知981752643727072 214 3333 另一方面由均值M 3 9!3 727072 3 71 213 由此，M 的最小值为 214. 2、设 x  x1  2 1008  a 0 a 1xa2 x2a 2016 x2016，则a 0  2a 1 3a 2  2017a 2016 的值是（） A．1008B．1009C．2016D．2017 【答案】【答案】B 分析：分析： 1看系数 2赋值 【解析】解法【解析】解法 1 1：：两边同乘 x，有x x2 x1 两边求导，得1008x x2 x1 令x 1，得a02a 1  1008  a 0 xa 1x 2a 2016 x2017  2x1 a 1007 0  2a 1x  2017a 2016 x2016 2017a 2016 1009 a 2016 1  2016a 2016 x20151008(x2 x1) 解法解法 2 2：：令x 1，可得a0a 1  对题中等式，两边求导，得a1 2a1x 令x 1，得a 1 2a 1  因此所求值为 1009。 2016a 2016 1008 3、集合S 12 （） A．A max 6 B．A max 7 5 25，A S，且A的所有子集中元素之和不同， 则下列选项正确的有 5131 C．若Aa 1a2a3a4a5，则   D．若Aa 1a2a3a4a5，则   2 2 i1 a i i1 a i x2y2 1的右焦点F 2 作一条直线交椭圆于A，B，则F 1 AB的内切圆面积可 4、过椭圆 43 能是（） A．1B．2 【答案】【答案】A C．3D．4 分析：分析：△F 1 AB周长 C 为定值4a 8，S △ABF 1  1 C8焦点弦长公式。 2 F 1F2  2c 焦半径，在△AF 1F2 中∠AF 2 F 1   AF  AF  2c  12 设AF 2  x，则由余弦定理2a x x22c2 x 2c cos 22 2ab2b2 所以x 由焦点弦| AB| 2 。 b c2sinaccos 2ab2l2 【解析】【解析】设直线 AB 的倾斜角为，则| AB | 2  l C2sin3sin2 因此S△ABF 1  1 ABF 1F2 sin 2 2S △ABF1 C  ABF 1F2 sin 8 22 因此，设内切圆半径为r，则Γ  ABF 1F2 sin 3sin 因此，内切圆面积为S   283sin  求得 S 的范围为 0, 5、an，b n均为等差数列， 已知 a 1b1 135，a 2b2  304，a 3b3  529， 则下列是a nbn 中的项的有（） 5   16  A．810B．1147C．1540D．3672 【答案】【答案】A,B,C,D 【解析】【解析】由题可得：a nbn  an2bn2c 2 a bc 135  将a 1b1 135,a 2b2  304,a 3b3  529带入得c  304 a bc  529  a  28  2 解得b 197；则a n2bn2  28n 197n304 、 c  304  n1 529 2 810 3 1147 4 1540 5 1989 6 2494 7 3055 8 3672 a n2bn2 6、已知函数y  x t ，过P10作切线交函数图象于点M和点N，记MN  gt， x 则下列说法中正确的有（） 1 时，PM  PNB．gt在定义域内单调递增 4 1 C．t 时，M，N和01共线D．g16 2 A．t  【答案】【答案】C 分析分析：共求切点弦。 引理引理：切点弦定理Gx, y Ax2 BxyCy2 Px Ey F，过曲线Gx, y 0外一点 Px 0 , y 0 引曲线的切线，切点为P 1P2 ，则弦P 1P2 就为点 P。关于曲线Gx, y 0的切点 弦，则对应的直线为Gx, y 0。其中 Gx, y Ax 0 x B x 0 y xy 0 x  xy y Cy 0 y  P0 E0 F 222 2 【解析】【解析】题中曲线即H : x  xy t  0，由引理知MN :1•x 1• y0•x t  0，即 2 MN :2x y 2t  0已知 MN 与 H，得x22xt t  0，得 gt| MN |122•4t24t，即gt 2 5•t2t。 当t  7、已知数列xn，其中x 1  a，x 2  b，x n1  x n  x n1 （a，b是正整数） ，若 2008 为 51 时，PM •PN  5x 1x2  44 数列中的某一项，则ab可能的取值有（） A．8B．9C．10D．11 8、投掷一枚均匀的骰子六次，存在k使得 1 到k次的点数之和为 6 的概率是p，则p的取 值范围是（） A．0  p  0.25B．0.25  p  0.5C．0.5  p  0.75D．0.75  p 1 9、 在ABC中，AB  2，AC 3，BC  4，若AO AB BC， O为三角形的内心， 则36的值为（） A．1B．2C．3D．4 10、甲、乙、丙、丁四人做相互传球的游戏，第一次甲传给其他三人中的一人，第二次由拿 到球的人再传给其他三人中的一人， 这样的传球共进行了 4 次， 则第四次球传回甲的概率是 （） A． 757 B．C． 27278 D． 21 64 x2y2 11  11、 已知椭圆 2  2 1a  b  0的离心率e的取值范围为 ， 直线y  z 1   ab  3 2 交椭圆于M和N，且OM ON，则椭圆长轴的取值范围是（） A． 5 6 B． 6 7