2017清华大学29标准学术能力测试题
2017 清华大学 4.29 标准学术能力测试题 1、a 1a2 a 9 是数字 1 到 9 的一个排列,则a1a2a3 a4a5a6a7a8a9的最小值为() D.216A.213B.214C.215 【答案】【答案】B 分析分析a 1,a2 1离散的数 a 9 9三元均值 0靠近之值 【解析】设a 1a2a3 a 4a5a6 a 7a8a9 M则由三元均值 M 33a 1 a 2 a 9 339 370 67 0 89 9 6789 720789 490070 703 12345 00△★ M 707272 214 ★★△△ 由题可知981752643727072 214 3333 另一方面由均值M 3 93 727072 3 71 213 由此,M 的最小值为 214. 2、设 x x1 2 1008 a 0 a 1xa2 x2a 2016 x2016,则a 0 2a 1 3a 2 2017a 2016 的值是() A.1008B.1009C.2016D.2017 【答案】【答案】B 分析分析 1看系数 2赋值 【解析】解法【解析】解法 1 1两边同乘 x,有x x2 x1 两边求导,得1008x x2 x1 令x 1,得a02a 1 1008 a 0 xa 1x 2a 2016 x2017 2x1 a 1007 0 2a 1x 2017a 2016 x2016 2017a 2016 1009 a 2016 1 2016a 2016 x20151008x2 x1 解法解法 2 2令x 1,可得a0a 1 对题中等式,两边求导,得a1 2a1x 令x 1,得a 1 2a 1 因此所求值为 1009。 2016a 2016 1008 3、集合S 12 () A.A max 6 B.A max 7 5 25,A S,且A的所有子集中元素之和不同, 则下列选项正确的有 5131 C.若Aa 1a2a3a4a5,则 D.若Aa 1a2a3a4a5,则 2 2 i1 a i i1 a i x2y2 1的右焦点F 2 作一条直线交椭圆于A,B,则F 1 AB的内切圆面积可 4、过椭圆 43 能是() A.1B.2 【答案】【答案】A C.3D.4 分析分析△F 1 AB周长 C 为定值4a 8,S △ABF 1 1 C8焦点弦长公式。 2 F 1F2 2c 焦半径,在△AF 1F2 中∠AF 2 F 1 AF AF 2c 12 设AF 2 x,则由余弦定理2a x x22c2 x 2c cos 22 2ab2b2 所以x 由焦点弦| AB| 2 。 b c2sinaccos 2ab2l2 【解析】【解析】设直线 AB 的倾斜角为,则| AB | 2 l C2sin3sin2 因此S△ABF 1 1 ABF 1F2 sin 2 2S △ABF1 C ABF 1F2 sin 8 22 因此,设内切圆半径为r,则Γ ABF 1F2 sin 3sin 因此,内切圆面积为S 283sin 求得 S 的范围为 0, 5、an,b n均为等差数列, 已知 a 1b1 135,a 2b2 304,a 3b3 529, 则下列是a nbn 中的项的有() 5 16 A.810B.1147C.1540D.3672 【答案】【答案】A,B,C,D 【解析】【解析】由题可得a nbn an2bn2c 2 a bc 135 将a 1b1 135,a 2b2 304,a 3b3 529带入得c 304 a bc 529 a 28 2 解得b 197;则a n2bn2 28n 197n304 、 c 304 n1 529 2 810 3 1147 4 1540 5 1989 6 2494 7 3055 8 3672 a n2bn2 6、已知函数y x t ,过P10作切线交函数图象于点M和点N,记MN gt, x 则下列说法中正确的有() 1 时,PM PNB.gt在定义域内单调递增 4 1 C.t 时,M,N和01共线D.g16 2 A.t 【答案】【答案】C 分析分析共求切点弦。 引理引理切点弦定理Gx, y Ax2 BxyCy2 Px Ey F,过曲线Gx, y 0外一点 Px 0 , y 0 引曲线的切线,切点为P 1P2 ,则弦P 1P2 就为点 P。关于曲线Gx, y 0的切点 弦,则对应的直线为Gx, y 0。其中 Gx, y Ax 0 x B x 0 y xy 0 x xy y Cy 0 y P0 E0 F 222 2 【解析】【解析】题中曲线即H x xy t 0,由引理知MN 1x 1 y0x t 0,即 2 MN 2x y 2t 0已知 MN 与 H,得x22xt t 0,得 gt| MN |1224t24t,即gt 2 5t2t。 当t 7、已知数列xn,其中x 1 a,x 2 b,x n1 x n x n1 (a,b是正整数) ,若 2008 为 51 时,PM PN 5x 1x2 44 数列中的某一项,则ab可能的取值有() A.8B.9C.10D.11 8、投掷一枚均匀的骰子六次,存在k使得 1 到k次的点数之和为 6 的概率是p,则p的取 值范围是() A.0 p 0.25B.0.25 p 0.5C.0.5 p 0.75D.0.75 p 1 9、 在ABC中,AB 2,AC 3,BC 4,若AO AB BC, O为三角形的内心, 则36的值为() A.1B.2C.3D.4 10、甲、乙、丙、丁四人做相互传球的游戏,第一次甲传给其他三人中的一人,第二次由拿 到球的人再传给其他三人中的一人, 这样的传球共进行了 4 次, 则第四次球传回甲的概率是 () A. 757 B.C. 27278 D. 21 64 x2y2 11 11、 已知椭圆 2 2 1a b 0的离心率e的取值范围为 , 直线y z 1 ab 3 2 交椭圆于M和N,且OM ON,则椭圆长轴的取值范围是() A. 5 6 B. 6 7