五年级奥数图形的分割教师版

4-2-4.4-2-4.图形的分割图形的分割 知识点拨知识点拨 五年级奥数图形的分割教师版 解题关键：解题关键：分割其实就是运用特殊的三角形（等角直角三角形、等边三角形等） 、正方形、 等边图形的特殊性质进行分割而得,所以分割的关键是利用了特殊图形的关系解题。 解题思想：解题思想： 这其实就是一种化整为零的思想,各位同学不仅要学会几何题中的这种方法,更要 细细体味这种思想在解决各种问题中的妙用。 例题精讲例题精讲 模块一、简单分割模块一、简单分割 【例【例 1 1】】3 3 个相同的正方形纸片按相同的方向叠放在一起个相同的正方形纸片按相同的方向叠放在一起( (如图如图), ),顶点顶点 A A 和和 B B 分别与正方形分别与正方形 中心点重合中心点重合 , ,如果所构成图形的周长是如果所构成图形的周长是4848 厘米厘米, ,那么这个图形覆盖的面积是那么这个图形覆盖的面积是 ____________________平方厘米平方厘米. . 【考点】图形的分割 【难度】2星【题型】填空 【关键词】迎春杯,中年级组,复试,4 题 【解析】将这 3 个正方形分割,可知这个图形的周长即为两个正方形纸片的周长之和,故正方 形边长为 48÷8=6（厘米）,则图中每个分割得到的小正方形边长为6÷2=3（厘米）, 所以这个图形覆盖的面积为6×6×2+3×3×2=90（平方厘米） 。 【答案】90平方厘米 【例【例 2 2】】正方形正方形ABCD的面积是的面积是1平方米平方米, ,将四条边分别向两端各延长一倍将四条边分别向两端各延长一倍, ,连结八个端点连结八个端点 得到一个正方形得到一个正方形( (如图如图),),求大正方形的面积．求大正方形的面积． A D B C 【考点】图形的分割 【难度】2星【题型】解答 【解析】四条边分别向两端各延长一倍,很容易可以观察出,大正方形有 9 个小正方形组成, 所以,大正方形的面积是：19 9(平方米)． 【答案】9平方米 【例【例 3 3】】将边长为将边长为a的正方形各边的中点连结成第二个正方形的正方形各边的中点连结成第二个正方形, ,再将第二个正方形各边的再将第二个正方形各边的 1 / 9 中点连结成第三个正方形中点连结成第三个正方形 , ,依此规律依此规律, ,继续下去继续下去, ,得到下图那么得到下图那么, ,边长为边长为a的正方的正方 形面积是图中阴影部分面积的形面积是图中阴影部分面积的________________ 倍倍. . 【考点】图形的分割【难度】3 星【题型】填空 【关键词】希望杯,四年级,复赛,第 6 题,4 分 【解析】阴影部分是大正方形的 0.5×0.5×0.5×0.5= 【答案】16倍 1 ,所以正方形是阴影的 16 倍 16 【例【例 4 4】】正三角形正三角形ABC的面积是的面积是 1 1 平方米平方米, ,将三条边分别向两端各延长一倍将三条边分别向两端各延长一倍, ,连结六个端连结六个端 点得到一个六边形点得到一个六边形( (如右图如右图),),求六边形的面积．求六边形的面积． A BC 【考点】图形的分割 【难度】3星【题型】解答 【解析】采用分割法,过A、B、C分别作平行线,得到右上图,其中所有小三角形的面积都 相同,所以六边形面积等于 13 平方米． 【答案】13平方米 【例【例 5 5】】正六边形正六边形ABCDEF的面积是的面积是 1 平方米平方米, ,将六条边分别向两端各延长一倍将六条边分别向两端各延长一倍, ,交于六交于六 个点个点, ,组成如下图的图形组成如下图的图形, ,求这个图形的面积．求这个图形的面积． A F ED B CF ED AB C 【考点】图形的分割 【难度】3星【题型】解答 【解析】采用分割法,连接正六边形的对角线,会发现,所有的三角形面积都相同,一共有 12 个小三角形,原来正六边形的面积是1 平方米,由 6 个小三角形组成,所以现在的大 图形的面积是：12  2(平方米) 【答案】2平方米 【例【例 6 6】】长方形长方形 ABCDABCD 的面积是的面积是 4040 平方厘米平方厘米,E,E、、F F、、G G、、H H 分别为分别为 ACAC、、AHAH、、DHDH、、BCBC 的中点。三角形的中点。三角形 EFGEFG 的面积是的面积是平方厘米。平方厘米。 E A D FG B H C 【考点】图形的分割【难度】3 星【题型】填空 【关键词】走美杯,五年级,初赛,第 3 题 2 / 9 11 【解析】40    5（平方厘米） 24 【答案】5平方厘米 【例【例 7 7】】把同一个三角形的三条边分别把同一个三角形的三条边分别 5 等分、等分、7 等分等分( (如图如图 1, ,图图 2), ),然后适当连接这些等然后适当连接这些等 分点分点, ,便得到了若干个面积相等的小三角形．便得到了若干个面积相等的小三角形． 已知图已知图 1 中阴影部分面积是中阴影部分面积是 294 平方平方 分米分米, ,那么图那么图 2 中阴影部分的面积是中阴影部分的面积是____________平方分米．平方分米． 【考点】图形的分割 【难度】3星【题型】填空 1216 【解析】图 1 中阴影部分占整个三角形面积的,图 2 中阴影部分占整个三角形面积的, 2549 1216 故图 2 中阴影部分的面积为 294÷=200(平方分米)． 2549 【答案】200平方分米 【例【例 8 8】】右图中的大正方形右图中的大正方形 ABCD 的面积是的面积是 1, 1,其它点都是它所在的边的中点。请问：阴其它点都是它所在的边的中点。请问：阴 影三角形的面积是多少？影三角形的面积是多少？ A D 图1图2 BC 【考点】图形的分割【难度】3 星【题型】解答 【关键词】华杯赛,初赛,第 6 题 11 ,所以小正方形面积是,将小 24 正方形各顶点标上字母如右图,很容易看出三角形 JFG 面积＝三角形 IHG 面积＝ 111 ×正方形 EFGH 面积,三角形 EJI 面积＝×三角形 EFH 面积＝×正方形 EFGH 448 1113 面积。所以阴影三角形 JGI 面积＝(1－－－)×小正方形面积＝×小正方形 4488 3 面积＝。 32 3 【答案】 32 【例【例 9 9】】下图中有四条弦下图中有四条弦, ,每一条弦都把大圆分割成两个面积比为每一条弦都把大圆分割成两个面积比为 1:31:3 的区域的区域, ,而且这些弦而且这些弦 的交点恰好是一个正方形的四个顶点。的交点恰好是一个正方形的四个顶点。 这些弦把圆分割成这些弦把圆分割成 9 9 个区域个区域, ,则此正方形的则此正方形的 面积是区域面积是区域 P P 面积的面积的倍。倍。 （（3.14）） 【解析】图中有大、中、小三个正方形,每个面积是前一个的 3 / 9 P 【考点】图形的分割【难度】4 星【题型】填空 【关键词】学而思杯,6 年级,第 1 题 【解析】去掉两边的弓形之后,中间部分面积是整个圆的一半,横竖两块中间部分面积和就等 于圆面积,所以重叠部分面积等于4 个 P 面积的和。即正方形面积是P 的 4 倍。 【答案】4 模块二、化