五年级奥数计数之对应法教师版

7-6-37-6-3 计数之对应法计数之对应法 教学目标教学目标 五年级奥数计数之对应法教师 版 将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来,只要能建立一一对应的关系,那么这两 种事物在数量上是相同的．事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式． 例题精讲例题精讲 模块一、图形中的对应关系 【例【例 1 1】】在在8× ×8的方格棋盘中的方格棋盘中, ,取出一个由三个小方格组成的取出一个由三个小方格组成的“ “L L” ”形（如图）形（如图）, ,一共有多少种一共有多少种 不同的方法？不同的方法？ 【考点】计数之图形中的对应关系【难度】3 星【题型】解答 【解析】【解析】注意：数“不规则几何图形”的个数时,常用对应法． 第 1 步：找对应图形 每一种取法 ,有一个点与之对应 ,这就是图中的A点,它是棋盘上 横线与竖线的交点,且不在棋盘边上． 第 2 步：明确对应关系从下图可以看出,棋盘内的每一个点对应着 4 个不同的取 法（“L”形的“角”在 2×2 正方形的不同“角”上） ． 第 3 步：计算对应图形个数由于在 8×8 的棋盘上,内部有 7×7=49（个）交叉点, 第 4 步：按照对应关系,给出答案故不同的取法共有49×4=196（种） ． 评注:通过上面两个范例我们知道,当直接去求一个集合元素的个数较为困难的时候, 可考虑采用相等的原则,把问题转化成求另一个集合的元素个数． 【答案】196 【例【例 2 2】】在在8× ×8的黑白相间染色的国际象棋棋盘中的黑白相间染色的国际象棋棋盘中, ,以网格线为边的、恰包含两个白色小方以网格线为边的、恰包含两个白色小方 格与一个黑色小方格的长方形共有多少个？格与一个黑色小方格的长方形共有多少个？ 【考点】计数之图形中的对应关系【难度】3 星【题型】解答 1 / 8 【解析】【解析】首先可以知道题中所讲的13长方形中间的那个小主格为黑色,这是因为两个白格 不相邻,所以不能在中间．显然,位于棋盘角上的黑色方格不可能被包含在这样的长 方形中．下面分两种情况来分析：第一种情况,一个位于棋盘内部的黑色方格对应 着两个这样的13长方形(一横一竖)； 第二种情况,位于边上的黑色方格只能对应一 个13长方形．由于在棋盘上的32 个黑色方格中,位于棋盘内部的 18 个,位于边上 的有 12 个,位于角上的有 2 个,所以共有18212  48个这样的长方形．本题也可 以这样来考虑：事实上,每一行都有 6 个13长方形,所以棋盘上横、竖共有13长 方形682 96个．由于棋盘上的染色具有对称性,因此包含两个白色小方格与一 个黑色小方格的长方形正好与包含两个黑色小方格与一个白色小方格的长方形具 有一一对应关系,这说明它们各占一半,因此所求的长方形个数为962  48个． 【答案】48 【巩固】【巩固】 用一张如图所示的纸片盖住用一张如图所示的纸片盖住66方格表中的四个小方格方格表中的四个小方格, ,共有多少种不同的放置共有多少种不同的放置 方法？方法？ 【考点】计数之图形中的对应关系【难度】3 星【题型】解答 【解析】如图,将纸片中的一个特殊方格染为黑色,下面考虑此格在66方格表中的位置．易 见它不能位于四个角上；若黑格位于方格表中间如图浅色阴影所示的44正方形 内的某格时,纸片有 4 种不同的放法,共计444 64种； 若黑格位于方格表边上如 图深色阴影所示的方格中时 ,纸片的位置随之确定 ,即只有 1 种放法,此类放法有 44 16种． 所以,纸片共有641680种不同的放置方法． 【答案】80种 【例【例 3 3】】图中可数出的三角形的个数为图中可数出的三角形的个数为．． 【考点】计数之图形中的对应关系【难度】4 星【题型】填空 【解析】这个图不像我们以前数三角形那样规则,粗看似乎看不出其中的规律,不妨我们取出 其中的一个三角形,发现它的三条边必然落在这个图形中的三条大线段上,而每三条 大线段也正好能构成一个三角形,因此三角形的个数和三条大线段的取法是一一对 3 56个三角形． 应的关系,图中一共有 8 条大线段,因此有C 8 2 / 8 【答案】56个三角形 【例【例 4 4】】如图所示如图所示, ,在直线在直线AB上有上有7个点个点, ,直线直线CD上有上有9个点．以个点．以AB上的点为一个端点、上的点为一个端点、 CD上的点为另一个端点的所有线段中上的点为另一个端点的所有线段中, ,任意任意3条线段都不相交于同一个点条线段都不相交于同一个点, ,求所有求所有 这些线段在这些线段在AB与与CD之间的交点数．之间的交点数． 【考点】计数之图形中的对应关系【难度】4 星【题型】解答 A B C D 【解析】常规的思路是这样的：直线AB上的 7 个点,每个点可以与直线CD上的 9 个点连 9 根线段,然后再分析这些线段相交的情况．如右图所示,如果注意到下面这个事实： 对于直线AB上的任意两点M、N与直线CD上的任意两点P、Q都可以构成一个 四边形MNQP,而这个四边形的两条对角线MQ、NP的交点恰好是我们要计数的 点,同时,对于任意四点(AB与CD上任意两点)都可以产生一个这样的交点,所以图 中两条线段的交点与四边形有一一对应的关系．这说明,为了计数出有多少个交点, 我们只需要求出在直线AB与CD中有多少个满足条件的四边形MNQP就可以了！ 从而把问题转化为： 在直线AB上有 7 个点,直线CD上有 9 个点． 四边形MNQP有 多少个？其中点M、N位于直线AB上,点P、Q位于直线CD上．这是一个常规 2  21种选择方式,的组合计数问题,可以用乘法原理进行计算：由于线段MN有C7 2  36种选择方式,根据乘法原理,共可产生2136  756个四边形．因线段PQ有C9 此在直线AB与CD之间共有 756 个交点． 【答案】756个交点 模块二、数字问题中的对应关系 【例【例 5 5】】有多少个四位数有多少个四位数, ,满足个位上的数字比千位数字大满足个位上的数字比千位数字大, ,千位数字比百位大千位数字比百位大, ,百位数字比百位数字比 十位数字大？十位数字大？ 【考点】计数之数字问题中的对应关系【难度】4 星【题型】解答 【解析】由于四位数的四个数位上的数的大小关系已经非常明确,而对于从0～9中任意选取 的 4 个数字,它们的大小关系也是明确的,那么由这 4 个数字只能组成 1 个符合条件 的四位数(题目中要求千位比百位大,所以千位不能为0,本身已符合四位数的首位不 能为0的要求,所以进行选择时可以把0包含在内),也就是说满足条件的四位数的个 数与从 0～9 中选取 4 个数字的选法是一一对应的关系,那么满足条件的四位数有 10987 4 C 10  210个． 4321 【答案】210个 【巩固】【巩固】 三位数中三位数中, ,百位数比十位数大百位数比十位数大, ,十位数比个位数大的数有多少个？十位数比个位数大的数有多少个？ 【考点】计数之数字问题中的对应关系【难度】4 星【题型】解答 【解析】【解析】相当于在 10 个数字中选出 3 个数字,然后按从大到小排列.共有 10×9×8÷（