瓜豆原理与相似有关说课材料

瓜豆原理 与似有关)(相 精品文档 瓜豆原理（与相似有关） 编者的话：编者的话：上一节课已经体验了瓜豆妙用，能解决相应的最值问题．本节课继 续学习瓜豆相关知识，但是难度要比上一节课要增大，本节不仅需要旋转还需 要进行放缩，即与相似有联系．不过相信在理解前一节的基础上，再学本节会 简单很多，我们一起来攻克吧！ 一、典型例题一、典型例题 例 1．如图，∠AOB=60°，C，D是边 OA上的两点，且 OD=8，CD=2，点 P是 射线 OB上一动点，连接 PD，点 Q是 PD的中点，连 CQ，则 CQ 的最小值 为． 解：第一步：判断．点 D为定点，P为主动点，Q为从动点，满足瓜豆原理． 第二步：画路径．局部变化：点 Q是点 P以定点 D为位似中心，以 1 为相 2 似比缩小而来．P点在射线 OB上运动，则整体上变化：Q点的路径是射线 OB 以定点 D为位似中心， 1 为相似比缩小而来，即射线 Q1Q为 Q的运动路 2 径．（实际作图：两点确定一条直线，只要寻找两个特殊点即可．当点 P在点 O时，取 OD中点 Q1，连 Q1Q并延长即可）．由位似的性质，△DQ1Q∽△ DOP，且相似比为 1 ，Q1Q∥OB． 2 第三步：计算．即当 CQ⊥Q1Q时，CQ2最小．∠AOB=∠AQ1Q=60°， CQ1=2，则 CQ2=3． 例 2．平面内两定点 A，B之间的距离为 8，P为一动点，且 PB=2，连接 AP， 并且以 AP为斜边在 AP的上方作等腰直角△APC，如图，连接 BC，则 BC 的最 大值与最小值的差为． 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 精品文档 解：第一步，判断．确定 P点的路径为⊙B．A为定点，P为主动点，C 为从动 点，满足瓜豆原理． 第二步，画路径．局部变化是点 P到点 C 的变化是先绕点 A逆时针旋转 45°，再以 A为位似中心，以 2 为相似比缩小．点 P在⊙B上运动，则整体的 2 2 变化：将⊙B先绕点 A逆时针旋转 45°，再以 A为位似中心，以 2 为相似比 缩小得到⊙O．（实际作图：以 AB为斜边向上构造等腰直角三角形，顶点即为 圆心 O，连 OC，以 O 为圆心 OC 为半径画圆即得到⊙O） 第三步：计算．BC 的最值转化为点圆位置关系，则 BC2－BC1= C1C2，即 为⊙O的直径2 2． 例 3．如图，等腰直角△ABC 中，∠A=90°，AB=AC=3，D是 AB 上的点，且 AD= 3．点 E是 BC 边上的一动点，过 E作 EF⊥ED，使DE :EF1:3，连接 FD，CF，则 CF 的最小值是． 解：第一步：判断．点 D为定点，E为主动点，F为从动点，满足瓜豆原理． 第二步：画路径．局部变化：点 F是点 E绕点 D顺时针旋转 60°，再以定 点 D为位似中心，以 2为位似比放大得到；点 E在 BC 上运动，则整体上变 化：F的路径为 BC 绕点 D顺时针旋转 60°，再以定点 D为位似中心，以 2 为 位似比放大得到 B’C’．（实际作图：将 BD，DC 分别顺时针旋转 60°再扩大 2 倍得到 B’，C’，连接即可）． 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 精品文档 第三步：计算最小值 CK．AD:AC=1:√3，可得∠ADC=60°=∠BDB’，则 B’，D，C 共线且 B’C=6；又△BDC∽△B’DC’，所以∠B’=∠B=45°，则 CK=3 2． 例 4．如图，△ABO为等腰直角三角形，A（-4，0），直角顶点 B在第二象 限，点 C 在 y轴上移动，以 BC 为斜边作等腰直角△BCD，我们发现直角顶点 D点随着点 C 的运动也在一条直线上运动，这条直线的函数解析式是． 图 1图 2 解：第一步：判断．点 B为定点，点 C 为主动点，点 D为从动点，满足瓜豆原 理．由于 D点的位置没有明确，故分两种情况进行讨论． 第二步：画路径．局部变化：点 D是点 C 先绕 B旋转 45°，再以 B为位似 中心以 2 为位似比缩小而来．则整体上：D点的路径为 y轴绕点 B 旋转 45°， 2 再以 B为位似中心以 2 为位似比缩小．（实际作图：直线型的我们可以寻找两 2 个特殊点，两点确定一条直线．如图 1，点 C 在 y轴上，当 BC1⊥y轴时，D1 （-1，3）；当 C2在 O点时，D2（0，2）；如图 2，当 BC1⊥y轴时，D1（-1， 1）；当 C2在 O点时，D2（-2，0） 第三步：计算．y  x2；y  x2． 二、巩固练习 1．如图，矩形 ABCD 中，AB=4，AD=3，E 为对角线 BD上一动点，以 E为直 角顶点，AE为直角边作等腰直角 Rt△AEF，A，E，F按逆时针排列．当点 E从 点 D运到到点 B时，点 F的运动路径长为． 【答案】：5 2．提示：法 1，寻找始末位置，F1为开始的位置，F2为最终的 位置，连接即为 F的路径．利用勾股即可求得．法 2，口算．E点的路径长为 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 精品文档 5，F点是由 E点旋转扩大得到，满足瓜豆，知其路径也为线段，并且扩大2 倍，即 F的路径为5 2． 2．如图，AB=2，点 D 是等腰 Rt△ABC 斜边 AC 上的一动点，以 BD为边向右 下作等腰△BDE，其中顶角∠BDE=120°，则点 D从 A运动到 C 的过程中，则 E点的运动路径长为． 【答案】：2 6．提示：满足瓜豆原理．法 1：画出路径具体求解．法 2：口算 法，D到 E旋转放大3倍，即 E点的路径为3AC  2 6． 3．如图，在等边△ABC 中，BC=6，D，E是 BC 边上的两点，且 BD=CE=1，P 是 DE上一动点，过点 P分别作 AC，AB的平行线交 AB，AC 于点 M，N，连接 MN，AP交于点 G，则点 P由点 D移动到点 E的过程中，线段 BG 扫过 BG扫 过的区域面积为． 【答案】： 3 3 提示：满足瓜豆原理．找始末位置 G1，G2，则 G1G2为△ADE 2 的中位线即G 1G2  1 DE  2,G 2V  1 AU  3 3 ．∴S  1 G 1G2 G 2V  3 3 ． 22222 4．如图，在平面直角坐标系中，已知正方形 ABCO，A（0，4），点 D为 x轴 上一动点，以 AD为边在 AD的右侧作等腰直角三角形 ADE，∠ADE＝90°，连 接 OE，则 OE的最小值为． 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 精品文档 【答案】：2 2 ．提示：瓜豆直线型，路径是 x轴绕点 O逆时针旋转 45°得 到．实际操作，找一个特殊点（图上已经有一点），C 点为开始点，连接 CE 即 为 E点运动路径，则 OE1为最小值．即OE 1  OC  2 2． 2 5．如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点 D是半径为 2 的⊙A 上一点，点 E是 CD 的中点，则 BE长的最大值是． 【答案】： 系． 6．如图，在等腰 Rt△ABC 中，AC=BC=2 2，点 P在以斜边 AB为直径的半圆 上，M为 PC 的中点．当点 P沿半圆从点 A 运动至点 B时，点 M运动的路径长 是． 71 ．提示：以 C 为位