2021版高考数学一轮复习第八章数列82等差数列练习理北师大版

8.2 等差数列 核心考点·精准研析 考点一 等差数列的基本运算 ) a= ( +a=8,a=7,则1.在等差数列{a}中,a5n514D.3 C.7 B.10 A.11 2.已知{a}是公差为1的等差数列,S为{a}的前n项和,若S=4S,则a= ( ) 108nnn4 A. B. C.10 D.12 3.(2020·沈阳模拟)在等差数列{a}中,若S为前n项和,2a=a+5,则S的值是 ( ) 11nn87A.55 B.11 C.50 D.60 4.(2019·全国卷Ⅰ)记S为等差数列{a}的前n项和.已知S=0,a=5,则 ( ) 5nn4A.a=2n-5 B.a=3n-10 nn 22C.S=2n-8n D.S=n-2n nn5.设等差数列{a}的前n项和为S,若S=-2,S=0,S=3,则m=________. m+1m-1nnm 【解析】1.选B.设等差数列{a}的公差为d,则有解得所以na=-2+4×3=10. 5 2.选B.由公差为1得S=8a+×1=8a+28,S=4a+6.因为S=4S,所以8a+28=4(4a+6),解得a=,1144111818 所以a=a+9d=+9=. 1103.选A.设等差数列{a}的公差为d,由题意可得2(a+6d)=a+7d+5,得a+5d=5,则11n1 S=11a+d=11(a+5d)=11×5=55. 1111 - 1 - 解得由题知所,A.设等差数列{a}的公差为d,4.选n以a=2n-5. n5.由S=-2,S=0,S=3得a=S-S=2,a=S-S=3,所以等差数列的公差d= mm-1mmm+1m+1mm+1m-1a-a=3-2=1, mm+1 由 解得 得答案:5 =a+6”,其他条件不变,则数列{a}的前11项和““第3题中若将条件2a=a+5”改为aS等于________. 11912n78 ==11a【解析】S, 611 =aa+6 设公差为d,由129 +3d=(aa+6d)+6, 得66解得a=12,所以S=11×12=132. 116答案:132 则数列的前2 021+6,a=a=4,项和为,的前【继续探究】已知等差数列{a}n项和为S且a29nn12) ( D. A. B. C. - 2 - d, }的公差为【解析】选D.设等差数列{an =2,d=2, a又a=4,a所以=a+6及等差数列的通项公式得a+5d=12,由1911222+n, 所以S=nn , -所以== . ==1-++所以…++…=++ 等差数列运算问题的通性方法 )项和公式转化为方程(组和公差1.等差数列运算问题的一般求法是设出首项ad,然后由通项公式或前n1. 求解体现了用,知其中三个就能求另外两个,项和公式,共涉及五个量a,a,d,n,S2.等差数列的通项公式及前nn1n. 方程的思想解决问题 【秒杀绝招】T1 1.应用性质解+d=10. a=a故d=a-a=3.所以由等差数列的性质得a+a=2a=8,所以a=4,44531353T3 2.应用变形公式解=55. =11a=5,所以S得2a=a+5,得2(a+d)=a+2d+5,a}设等差数列{a的公差为d,由6786n6116T4 应用排除法解3. B, ≠0,=5,S对于B,a排除==-10452C. 5,排除5-8×5-0=10≠-S对于C,S=0,a=S=2×4455 2A. 排除5,D,故选=×5-2×5-0=2.5≠-S=0,a对于D,S=S4545 考点二 等差数列的判定与证明 *). N(n∈,a满足已知数列【典例】1.{a}a=-=n+1n1 (1)证明:数列是等差数列; . }求(2){a的通项公式n - 3 - 【解题导思】 题目拆解序号 +1 先凑(1) an+1 =①an+1 +1 a②产生 n+1 -a+1取倒数产生=常数n+1(2) },求出{a的通项公式数列是等差数列 由(1)写出的通项公式n =3,所以-所以==3+,【解析】(1)因为a+1=+1=,n+1 . 3的等差数列是首项为=3,公差为所以 -1. a=得=3n,所以(2)由(1)n*2), N)a(n∈=(n}满足a=1,a+n-λ2.数列{an1n+1n(1)当a= -1时,求λ的值及a的值; 32(2)是否存在λ,使数列{a}为等差数列?若存在,求出其通项公式,若不存在,说明理由. n【解题导思】 序号 联想解题 2看到a=(n+n-λ)a,(1) 想到数列的递推公式 nn+12看到a=(n(2) +n-λ)a,结合(1)想到若数列{a}为等差数列,可求λ,结合等差数列的定义判断 nn+1n2【解析】(1)因为a=(n+n-λ)a,a=1, a=-1, 2n1n+1所以-1=(2-λ)×1,解得λ=3. 2(-1)=-3. ×a=(2+2-3)所以3: 说明如下为等差数列,不存在λ,使数列{a}(2)n*2). (n∈N)a因为a=1,a=(n+n-λnn+11), )(2-λ=2-所以,aλ,a=(6-λ32), )(2-λ)(6-λλ=(12-a4) λ)(2-1+(6-,=2a+aa.}{a,若存在实数λ使数列为等差数列则即λ23n1), =2(2-λ - 4 - 解得:λ=3. 此时a=2-λ=2-3=-1,a=(6-λ)(2-λ)=-3,a=(12-λ)(6-λ)(2-λ)=-27, 432a-a=-1-1=-2,而a-a=-24. 3124所以,数列{a}不是等差数列, n即不存在λ使数列{a}为等差数列. n 1.判断数列{a}是等差数列的常用方法 n*. -a是同一常数∈N,a(1)定义法:对任意nnn+1*. 2a=a+a∈n≥2,nN,满足(2)等差中项法:对任意n-1nn+1*). =pn+q(p,q为常数n∈N,都满足a(3)通项公式法:对任意n2*). 为常数S=An+Bn(A,B∈(4)前n项和公式法:对任意nN,都满足n. 是等差数列的最终方法只能用定义法和等差中项法证明数列{a}说明:n 证明某数列不是等差数列2 则只要证明存在连续三项不成等差数列即可若证明某数列不是等差数列, =110. 且SS已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前n项和为,kn; k的值(1)求a及 =,证明数列{b}是等差数列,并求其前n项和T. 满足(2)已知数列{b}bnnnn【解析】(1)设该等差数列为{a},则a=a,a=4,a=3a,由已知有a+3a=8,得a=a=2,公差d=4-2=2,所以11n32 2+k. ×+·2=kS=kad=2k+1k2由S=11