立体几何之内切球与外接球习题讲义教师版精编版

……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… 圆梦教育中心圆梦教育中心 立体几何中的“内切”与“外接”问题的探究立体几何中的“内切”与“外接”问题的探究 1 1 球与柱体球与柱体 规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内 切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或 者表面积等相关问题. 1.11.1球与正方体球与正方体 如图 1 所示，正方体ABCD  A 1B1C1D1 ,设正方体的棱长为a，E,F,H,G为棱的中点， O为球的球心。 常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFHG和其内切 圆，则OJ  r ； 二 是 与 正 方 体 各 棱 相 切 的 球 ， 截 面 图 为 正 方 形 EFHG 和 其 外 接 圆 ， 则 OG  R  2 a； 2 3a . 2 a 2 三是球为正方体的外接球，截面图为长方形ACC 1 A 1 和其外接圆，则A 1O  R  通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根 据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体 的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题 。 例例 1 1棱长为 1 的正方体ABCD  A 1B1C1D1 的 8 个顶点都在球O的表面上，E，F分别是棱 1 ……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… AA 1 ，DD 1 的中点，则直线EF被球O截得的线段长为（） A． 2 2 B．1 C．1 2 2 D． 2 1.21.2球与长方体球与长方体 长方体各顶点可在一个球面上， 故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长 方体的棱长为a,b,c,其体对角线为l.当球为长方体的外接球时， 截面图为长方体的对角 la2b2c2 面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径R  . 22 例例 2 2 在长、宽、高分别为2，2，4 的长方体内有一个半径为 1 的球，任意摆动此长方 体，则球经过的空间部分的体积为( ) 10π8π7π A.B.4πC.D. 333 1.31.3球与正棱柱球与正棱柱 球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多。下面以正三棱柱为例，介绍本类题 目的解法——构造直角三角形法。设正三棱柱 ABC  A 1B1C1 的高为h，底面边长为 a， 如图 2 所示，D和D 1分别为上下底面的中心。根据几何体的特点，球心必落在高 DD 1 的中点 O ，OD  ,AO  R,AD  h 2 3 a，借助直角三角形AOD 的勾股定理，可求 3 2 ……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… 2 h  3  。 R     a  2  3  2 例例 3 3 正四棱柱ABCD  A 1B1C1D1 的各顶点都在半径为R的球面上， 则正四棱柱的侧面积有 最值，为 . 2 2 球与锥体球与锥体 规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合， 以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查 几何体的体积或者表面积等相关问题. 2.12.1 球与正四面体球与正四面体 正四面体作为一个规则的几何体，它既存在外接球，也存在内切球，并且两心合一，正四面体作为一个规则的几何体，它既存在外接球，也存在内切球，并且两心合一， 利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长关系。利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长关系。 如图如图 4 4，，设正四面体设正四面体S  ABC的棱长为的棱长为a，，内切球半径为内切球半径为r，，外接球的半径为外接球的半径为R，取AB 的 3 ……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… 中点为D，E为S在底面的射影，连接CD,SD,SE为正四面体的高。在截面三角形SDC, 作一个与边SD和DC相切，圆心在高SE上的圆，即为内切球的截面。 因为正四面体本身的对称性可知，外接球和内切球的球心同为O。此时， CO  OS  R,OE  r,SE  232a2 2 22a,CE a,则有则有Rr 解得：a，R r  CE =， 3333 R  66 a,r a.这个解法是通过利用两心合一的思路，建立含有两个球的半径的等量 412 关系进行求解.同时我们可以发现，球心O为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这 些数量关系，可为解题带来极大的方便. 例例 4 4 将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高 的最小值为 ( ) A. 2 62 63  2 64 3 2 6 B. 2+ C. 4+ D. 3333 球的外切正四面体，这个小球球心与外切正四面体的中心重合，而正四面体的中心到顶点的距离是中心到地面距离的 3 倍.] 2.22.2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥球与三条侧棱互相垂直的三棱锥 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题，主要是体现在球为三棱锥的外接球 . 4 ……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… 解决的基本方法是补形法，即把三棱柱补形成正方体或者长方体。常见两种形式： 一是三棱锥的三条棱互相垂直且相等，则可以补形为一个正方体，它的外接球的 球心就是三棱锥的外接球的球心。如图 5，三棱锥A 1  AB 1D1 的外接球的球心和正方体 ABCD  A 1B1C1D1 的外接球的球心重合，设AA 1  a，则R  3 a。 2 二是如果三棱锥的三条侧棱互相垂直且不相等，则可以补形为一个长方体，它的 a2b2 c2l2  （l 为长方体的体对角线长 ）外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心，R 。 44 2 例例 5 5在正三棱锥S  ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM  MN,若侧棱 SA  2 3,则正三棱锥S  ABC外接球的表面积是 。 2.32.3球与正棱锥球与正棱锥 5 ……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… 球与正棱锥的组合，常见的有两类， 一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点， 可以构造直角三角形进行求解. 二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切， 球心到四个面的距离相等，都为球半径 R ．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥 面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积. 例例 6 6 在三棱锥 P－ABC 中，PA＝PB=PC= 3,侧棱 PA 与底面 ABC 所成的 角为 60°，则该三棱锥外接球的体积为（） A． B. C. 4D.  3 4 3 2.42.4 球与特殊的棱锥球与特殊的棱锥 球