考研数学三部分重要知识点归纳仅推荐给中等数学水平的考生

高等数学部分易混淆概念 第一章：函数与极限 一、数列极限大小的判断 例 1：判断命题是否正确． 若xn yn(n  N)，且序列xn,yn的极限存在，limxn A,lim yn B,则A B nn 解答： 不正确． 在题设下只能保证 而limxn n 11 不能保证A B． 例如：xn ,y n  ，xn yn,n， A B， nn1  limy n 0． n 例 2．选择题 设xn zn yn，且lim(yn xn) 0,则limzn（） nn A．存在且等于零B. 存在但不一定等于零 C．不一定存在D. 一定不存在 答：选项 C 正确 分析：若limxn n  limy n  a  0，由夹逼定理可得limz n  a  0，故不选 A 与 D. nn 取xn 11  (1)n,y n  (1)n,z n  (1)n，则x n z n y n ，且lim( yn x) 0 ，但lim zn不 n  nn nn  a  y n ,且lim(y n  x n ) 0,则{x n}与{yn} （） n 存在，所以 B 选项不正确，因此选 C． 例 3．设xn A．都收敛于aB. 都收敛，但不一定收敛于a C．可能收敛，也可能发散D. 都发散 答：选项 A 正确． 分析：由于xn a  yn,，得0 a  xn yn xn，又由lim(yn xn) 0及夹逼定理得 n lim(a x n ) 0 n 因此，limxn n  a，再利用lim(y n  x n ) 0得limy n  a．所以选项 A． nn 二、无界与无穷大 无界：设函数f (x)的定义域为D，如果存在正数M，使得 f (x)  Mx X  D 则称函数f (x)在X上有界，如果这样的M不存在，就成函数 f (x)在X 上无界；也就是说如果对于任 f (x 1)  M ，那么函数f (x)在X上无界．何正数M，总存在x 1 X ，使 无穷大：设函数．如果对于任意 f (x)在x0的某一去心邻域内有定义（或x 大于某一正数时有定义） ，只要x适合不等式0  x  x0 X ）（或给定的正数M（不论它多么大） ，总存在正数（或正数 x  X ） ，对应的函数值 f (x)总满足不等式 f (x)  M 则称函数f (x)为当x  x0（或x  ）时的无穷大． 例 4：下列叙述正确的是：② ①如果 ②如果 f (x)在x 0 某邻域内无界，则lim f (x)   xx0 xx0 lim f (x)  ，则f (x)在x 0 某邻域内无界 解析： 举反例说明． 设 1111  时，xn 0,yn 0，令xn当n  ,y n ,，f (x) sin ，  xxn 2n 2 而 lim f (x n )  lim(2n)   nn 2 n  故 lim f (y n ) 0 f (x)在x 0邻域无界，但x 0时f (x)不是无穷大量，则①不正确． 结论：无穷大必无界，而无界未必无穷大． 由定义，无穷大必无界，故②正确． 三、函数极限不存在极限是无穷大 当x  x0（或x  ）时的无穷大的函数 f (x)，按函数极限定义来说，极限是不存在的，但是为 了便于叙述函数的性态，我们也说“函数的极限是无穷大” ．但极限不存在并不代表其极限是无穷大． x1  例 5：函数f (x)  0 x1  四、如果 x  0 x  0 x  0 ，当x 0时f (x)的极限不存在． xx0 lim f (x)  0不能退出lim xx0 1   f (x) 例 6：f (x)  x 0 x为有理数1 ，则lim f( )在x 0的任一邻域的无理点均没有 x  0 ，但由于 xx0 x为无理数f (x) 定义，故无法讨论 1 在x 0的极限． f (x) 结论：如果 xx0 lim f (x)  0，且f (x)在x 0 的某一去心邻域内满足 f (x)  0，则lim 1 为无穷小。 f (x) xx0 1  ．反 f (x) 之， f (x)为无穷大，则 五、求函数在某点处极限时要注意其左右极限是否相等，求无穷大处极限要注意自变量取正无穷大和负无 穷大时极限是否相等。 例 7．求极限lime x x,lime x0 1 x 解： x lim ex , lim ex0，因而x  时ex极限不存在。 x x0 lim e  0, lim e  ，因而x 0时e 极限不存在。 x0 1 x 1 x 1 x 六、使用等价无穷小求极限时要注意： （1）乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的，故统一不 用。这时，一般可以用泰勒公式来求极限。 （2）注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换 例 8：求极限lim x0 1 x  1 x 2 2x 1 x  1 x  2写成( 1 x 1) ( 1 x 1)，再用等价无穷小替换就会导致 分析一：若将 错误。 分析二：用泰勒公式 11 ( ) 1 22 x2(x2))1 x  1 x  (1x 22! 11 ( ) 1 22 x2(x2))2(1x 22! 1  x2(x2) 4 1 x2(x2) 1   原式 4 。 x24 sinx x x 解：本题切忌将sinx用x等价代换，导致结果为 1。 sinxsin lim 0 x x 例 9：求极限lim 七、函数连续性的判断 （ 1 ） 设 f (x) 在 x  x 0 间 断 ， g(x) 在 x  x 0 连 续 ， 则 f (x) g(x) 在 x  x 0 间 断 。 而 f ( x) g( x),2f(x ), f 在 (xx) x 0 可能连续。 例 10．设 0 f (x)  1 x  0 ，g(x) sinx，则 f (x)在x 0 间断， g(x)在x 0 连续， x  0 在x 0连续。 f (x) g(x) f (x) sin x 0 若设  1 f (x)  1 x  0 2 ， f (x)在x 0间断，但f (x)  f (x) 1在x 0均连续。 x  0 （2） “f (x)在x0点连续”是“ f (x) 在x0点连续”的充分不必要条件。 xx0 分 析 ： 由 “ 若 ) a ” 可 得 “ 如 果 lim f (x)  f (x 0 ) ， 则 lim f (x)  a ， 则 l i mf x(  xx0 xx0 xx0 ， l i mf x(  ) f x 0( ”)因此，f (x)在x0点连续，则 f (x) 在x