第8讲工具变量讲解

第第 8 8 讲讲单方程工具变量回归（完）单方程工具变量回归（完） OLS 能够成立的假设之一是解释变量与扰动项不相关。否则，OLS 估计量 将是不一致的，即无论样本容量多大，OLS 估计量都不会收敛到真实的总体参 数。然而，解释变量与扰动项相关的例子却很多1，解决方法之一就是本讲介绍 的工具变量法。 从历史上看， 工具变量估计和联立方程系统是同时教授的，更老的教科书仅 在联立方程中描述工具变量估计。然而在最近的几十年，内生性的处理和工具变 量估计已经呈现出更广阔的前景，而对于联立方程完整系统设定的兴趣已经减 弱。 最新的教材， 如 Cameron & Trivedi (2005)， Davidson & MacKinnon (1993, 2004) 和 Wooldridge (2010, 2013)，把工具变量估计看作现代经济学家的工具包中不可 或缺的一部分，用更长的篇幅介绍它，而缩短对联立方程的讨论。 在回归方程中，一个有效（valid）的工具变量应满足以下两个条件： （1）相关性：工具变量与内生解释变量相关； （2）外生性：工具变量与扰动项不相关。 但是， 工具变量的这两个条件常常矛盾， 即与内生解释变量相关的变量往往 与扰动项也相关。故在实践上，寻找合适的工具变量通常比较困难，需要一定的 创造性与想象力。寻找工具变量的步骤大致可以分为两步： （1）列出与内生解释变量相关的尽可能多的变量的清单（较容易） （2）从这一清单中剔除与扰动项相关的变量（较困难） 传统的工具变量法一般通过“两阶段最小二乘法”（2SLS）来实现，顾名思 义，即作两个回归。可以证明，在扰动项的经典假定下，由 2SLS 得到的工具变 量线性组合是所有线性组合中最渐近有效的2。这个结论类似于小样本理论中的 高斯—马尔可夫定理。 第一阶段回归： 用内生解释变量对工具变量回归，得到内生解释变量的拟合 值。 1 2 在计量经济学中，把所有与扰动项相关的解释变量都称为“内生变量”。 在条件同方差的情况下，最优 GMM 还原为 2SLS，而最优 GMM 是渐近有效的。 1 第二阶段回归： 用被解释变量对第一阶段回归的拟合值进行回归，得到被解 释变量的拟合值。 ivregress — Single-equation instrumental-variables regression 命令语法：命令语法： ivregress estimator depvar [varlist1] (varlist2= varlistiv) [if] [in] [weight] [, options] estimator 2sls liml gmm 描述 两阶段最小二乘法(2SLS) 有限信息最大似然法(LIML) 广义矩估计(GMM) 命令描述：命令描述： ivregress拟合被解释变量depvar对varlist1和varlist2的线性回归， 使用varlistiv 作为 varlist2的工具变量，varlist1和 varlistiv是外生（解释）变量，varlist2是内生 （解释）变量。ivregress 可以利用两阶段最小二乘法(2SLS)，有限信息最大似然 法(LIML)和广义矩估计(GMM)执行工具变量估计。 备注和示例备注和示例 ivregress 执行工具变量回归和加权工具变量回归。对于工具变量的一般讨 论，请参见 Baum (2006)，Cameron 和 Trivedi (2005；2010，第 6 章)，Davidson 和 MacKinnon (1993，2004)，Greene (2012，第 8 章)，以及 Wooldridge (2010， 2013)。参见 Hall (2005)对于 GMM 估计的明晰介绍。Angrist 和 Pischke (2009， 第 4 章)非正式而全面地介绍了工具变量估计量，包括他们在估计处理效应的使 用。 ivregress 的语法假设从方程系统拟合一个方程， 或拟合一个不用指定剩余方 程 的 函 数 形 式 的 方 程 。 为 了 拟 合 一 个 完 整 的 方 程 系 统 ， 使 用 2SLS equation-by-equation 或三阶段最小二乘法， 请参阅[R] reg3。 ivregress 的一个优点 是，可以拟合多方程系统中的一个方程，而不用指定剩余方程的函数形式。 形式上，由 ivregress 拟合的模型是： 2 yi = ziβ1 + x1iβ2+ ui(1) zi = x1iΠ1+ x2iΠ2 + vi(2) 其中 yi是第 i 个观测值的因变量，zi表示内生回归元（varlist2） ，x1i表示包 括的外生回归元（varlist1） ，x2i表示排除的外生回归元（varlistiv） 。x1i和 x2i统称 为工具。ui和 vi是零均值误差项，ui和 vi元素的相关性假设是非零。 2SLS and LIML estimators 最常用的工具变量估计量是 2SLS。 例 1：2SLS estimator 我们有从 1980 年以来的州人口普查数据，包括自有住房价值的中位数 (hsngval)和每月总租金的中位数(rent)。我们想构建 rent 为 hsngval 和生活在城市 地区的人口比例(pcturban)的函数： renti=β0 +β1hsngvali+β2pcturbani+ ui 其中 i 表示各个州，ui是误差项。 因为随机冲击影响一个州的租金价格，也可能会影响房屋价值，所以我们把 hsngval 看作是内生的。我们相信 hsngval 和 u 的相关性不等于零。另一方面，我 们没有理由相信pcturban和u的相关性不为零， 所以我们假设pcturban是外生的。 因为把 hsngval 当作内生回归元，所以必须有一个或多个与 hsngval 相关但 与 u 不相关的其他变量。此外，这些排除的外生变量不能直接影响rent，因为如 果它们影响 rent 的话，就应该包含在前面指定的回归方程中。另外，家庭收入变 量(faminc)和地区变量(region)，与 hsngval 相关但与误差项 u 不相关。总之， pcturban，faminc 和因子变量 2.region，3.region 和 4.region 构成了一套工具变量。 为了拟合方程，我们指定了因变量和包括外生变量的自变量。在括号中，我 们指定了内生回归元，一个等号，和排除的外生变量。其他外生变量必须指定在 等号的右边；出现在回归方程中的外生变量自动纳入工具变量。 use hsng,clear ivregress 2sls rent pcturban (hsngval = faminc i.region) 正如所期望的， 具有更高房屋价值的州有更高的租金价格。生活在城市地区 的州人口比例对租金没有显著影响。 3 技术说明 在联立方程的框架下，写出前面拟合的模型为： hsngvali=π0 +π1faminci +π22.regioni+π33.regioni+π44.regioni+ vi renti =β0 +β1hsngvali+β2pcturbani+ ui 方