最短路径习题

13.413.4 课题学习课题学习最短路径问题最短路径问题 1、①如右图是一个棱长为4 的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A 沿木块侧面爬 到点 B 处，则它爬行的最短路径是。 B A ②如右图是一个长方体木块，已知AB=3，BC=4，CD=2，假设一只蚂蚁在点A 处， 它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是。 D C A B 2．①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么 地方可使所用的水管最短。 李庄 张村 ②如图，直线 L 同侧有两点 A、B，已知 A、B 到直线 L 的垂直距离分别为 1 和 3，两 点的水平距离为 3，要在直线 L 上找一个点 P，使 PA+PB的和最小。请在图中找出点P 的 位置，并计算 PA+PB的最小值。 B A L ③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂 直距离分别为 1Km 和 3Km，张村与李庄的水平距离为 3Km，则所用水管最短长度 为。 李庄 张村 3．如图是一个长方体木块，已知AB=5，BC=3，CD=4，假设一只蚂蚁在点A 处，它 要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是。 D C A B 4．现要在如图所示的圆柱体侧面A 点与 B 点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略 不计） ，圆柱体高为 6cm，底面圆周长为 16cm，则所缠金丝带长度的最小值为。 B A 5．如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A 点爬到点 B 处吃到食 物，知圆柱体的高为 5 cm，底面圆的周长为 24cm，则蚂蚁爬行的最短路径为。 B A 6．正方形 ABCD 的边长为 8，M 在 DC 上，且 DM＝2，N 是 AC 上的一动点，DN＋ MN 的最小值为。 7．在菱形 ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，点 E 是 AB 的中点，P 是对角线 AC 上的 一个动点，则 PE+PB 的最小值为。 D P A E B 图(2) C 8．如图，在△ABC 中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D 是 BC 边的中点，E 是 AB 边 上一动点，则 EC＋ED 的最小值为_______。 9．如图，点 P 关于 OA、OB 的对称点分别为 C、D，连接 CD，交 OA 于 M，交 OB 于 N，若 CD＝18cm，则△PMN 的周长为________。 10．已知，如图 DE 是△ABC 的边 AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交 BC 于 E，且 AC＝5，BC＝8，则△AEC 的周长为__________。 11．已知，如图，在△ABC 中，AB＜AC，BC 边上的垂直平分线DE 交 BC 于点 D， 交 AC 于点 E，AC＝8，△ABE 的周长为 14，则 AB 的长。 12．如图，在锐角△ABC 中，AB＝4 2，∠BAC＝45°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是____． 13．△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC=6，BC=8，过 AB 边上一点 P 作 PE⊥AC 于 E，PF⊥BC 于 F，E、F 是垂足，则 EF 的最小值等于． 14．如图，菱形 ABCD 中，AB=2， ∠BAD=60°，点 E、F、P 分别是 AB、BC、AC 上的动点，则 PE+PF 的最小值为___________. D C P F A EB 15．如图，村庄 A、B 位于一条小河的两侧，若河岸a、b 彼此平行，现在要建设一座 与河岸垂直的桥 CD，问桥址应如何选择，才能使A 村到 B 村的路程最近． 16．一次函数 y=kx+b 的图象与 x、y 轴分别交于点 A（2，0） ，B（0，4） ． （1）求该函数的解析式； （2）O 为坐标原点，设 OA、AB 的中点分别为 C、D，P 为 OB 上一动点，求 PC＋ PD 的最小值，并求取得最小值时P 点坐标． 17．如图，已知∠AOB 内有一点 P，试分别在边 OA 和 OB 上各找一点 E、F，使得△ PEF 的周长最小。试画出图形，并说明理由。 18．如图，直线 l 是第一、三象限的角平分线． 实验与探究： （1）由图观察易知 A（0，2）关于直线 l 的对称点 A′的坐标为（2，0） ，请在图中分 别标明 B（5，3） 、C（－2，5）关于直线 l 的对称点 B′、C′的位置，并写出他们的坐标： B′、C′； 归纳与发现： （2）结合以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三 象限的角平分线 l 的对称点 P′的坐标为； 运用与拓广： （3）已知两点 D（1，－3） 、E（－1，－4） ，试在直线 l 上确定一点 Q，使点 Q 到 D、E 两点的距离之和最小，并求出Q 点坐标． 19．几何模型： 条件：如图，A、B 是直线 L 同旁的两个定点．问题：在直线L 上确定一点 P，使 PA+PB的值最小． B A l P 方法：作点 A 关于直线l的对称点 A ，连结 AB 交l于点 P ，则 最小（不必证明） ． 模型应用： （1）如图 1，正方形 ABCD 的边长为 2， E 为 AB 的中点， P 是 AC 上一动点．连 结 BD ，由正方形对称性可知，与 D 关于直线 AC 对称．连结 ED 交 AC 于 P ，则 的值 PB  PE 的最小值是___________； （2）如图 2，⊙O的半径为 2，点 A、B、C 在⊙O上，OAOB， AOC  60° ， P 是OB上一动点，求 PA PC 的最小值； （3）如图 3，∠AOB=45°，P 是∠AOB 内一点，PO=10，Q、R 分别是 OA、OB 上的 动点，求△PQR 周长的最小值． B E A 图 1 D 20．问题探究 （1）如图①，四边形 ABCD 是正方形，， E 为边 BC 的中点， P 为 B C 图 2 O P A C B O Q 图 3 A R B P BD 上的一个动点，求 PC  PE 的最小值； （2）如图②，若四边形 ABCD 是菱形，， ABC  45° ， E 为边 BC 上的一个动点， P 为 BD 上的一个动点，求 PC  PE 的最小值； ， BC  20cm ， E 为问题解决（3）如图③，若四边形ABCD 是矩形， 边 BC 上的一个动点，P为 BD 上的一个动点，求 PC  PE 的最小值； A P B C B D A A D D BEC C