线性代数(同济第5版)复习要点
线性代数(同济第5版)复习要点 以矩阵为工具,以线性方程组问题为主线 第一章行列式 基本结论 1. 行列式的性质 (1)互换行列式的两行,行列式变号. (2)行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. (3)把行列式的某一行的各元素乘以同一数然后加到另一行对应的元素上去,行列式不变. 2. 行列式按行(按列)展开 定理3行列式等于它的任一行的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即 D = «,iAi +a,* +A +ainAin (z = l,2,A ,〃) 3. 克拉默法则如果线性方程组的系数行列式不等于零,即 a\I an A a】“ D _ °2ia22 A a2n ? 0 —AAAAAAA a“i 如 A ann 那末,线性方程组有唯一的解 =%3=藉,A,x,,=* D DD 主要计算 计算行列式: 1. 2. 例 数字行列式化为上三角形; 1. 计算有规律的〃阶行列式. 2. (例8)计算行列式D = 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 3 1 -1 2 -5 1 3 -4 2 0 1 -1 1 -5 3 -3 (例7)计算行列式D = P.26, 4(2)(4), 6(2)(4)(5), 8 第二章矩阵及其运算 基本概念 注意:1.矩阵可乘条件、乘法规则 2. 矩阵乘法不满足交换律AB * BA 3. 矩阵乘法有零因子出现:A^O,B^O,但却有AB = O 4. 消去律不成立:AB = AC,推不出B = C 基本结论 1. 转置 ①(以“ (ii) (A + 5)r =At+Bt (iii) (M)r = kAT (iv) (A5)r =BtAt 2. 方阵的行列式 (i) I Ar 1=1 Al (行列式性质1); (ii) \AA\ = An I Al; (iii) I AB 1=1 A II Bl 3. A的伴随矩阵 AA* =A*A=\A\E 4. 逆矩阵 A 可逆 u>| A I? 0 o R(A) = n E = X = E\E4E、InO,则 A4 可逆,且(/iA)-1 =-Al (iii) 若A,8为同阶方阵且均可逆,则仙亦可逆,且(藤尸=矿顷一1 (iv) 若A可逆,则疽亦可逆,且(疽)T=(A—y 基本计算 用上面基本结论进行简单计算 主要计算 求Q:公式法A 1 =—A* \A\ 基本证明 用上面基本结论进行简单证明 ‘1 2 3、 1. (例11)求矩阵的逆矩阵人=2 2 1 • 4 3J P.54,1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 22, 23, 24 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 基本结论 线性方程组解的判定: 1. 〃元非齐次线性方程组AX=b AX =b 有解0 7?(A) = 7?(B). 有解时,(记R(A) = R(B) = r ) (1) r = nS 寸,AX =b 有唯一解 (2) r