线性代数期末练习2答案
一、填空 2 1.行列式0 0 2. 设A为 2 阶方阵,且 |A| = 2,则|A*-3A- |= . 3. 已知向量组A :%,•••,%与向量组3:*,…,及等价,则R(A) R(B).(填 >,〈或=) 0-1 7. 设二次型/■的矩阵4= 010 ,则/(x1,x2,x3) = -1 0 1 8. 设A为三阶方阵,其特征值分别为1,2, 3,对应的特征向量分别为%, %,%,设 P = \a2 a3 %],贝!] P~lAP=. 9. 设A, B均为4阶方阵,方程组Ax = 0只有零解,且R(8) = l,则R(R4) = ■ 1 t - r 10. 当f的取值范围是 时,矩阵A= t 42 是正定矩阵. -1 24 填空题答案 1.6:2.1/2:3:4 相关 ; 4. 设向量组%,%线性相关,则线性• 「12],. 5. 已知 A=,贝IJAT=. 3 4 「10 2 一-3— 6.设 A = 0 12 相似于对角阵 1 ,则X 2 2 x 3 5. ;6.口 ; 7. 2.Y|“ + x; + x; — 2.Yj.y^ ; 2 8. 3;9.; 10.0-2,1). 1 二、单项选择 Q] ]。12。13 Q] ] 2。]] 。12 3。]3 1.设 = ^^21^^22^^23 ,则 CI2] 2^^21 ^^22 3fl^23 =( ). “31。32% “31 2角1 — Q32 3%3 (A) 2D; (B)- 3D; (C) 5D; (D)-2D. 2. 若A, B均为〃阶可逆方阵,AXB = C ,则X =(). (A) A- B- C ; (B) CB- A 1; (C) A- CB 1;(D). 3. 设a,, a2, a3线性无关,则()时,a% --线性无关. (A) abJl;(B) ab = l; (C)沥? 3 ;(D) ab = 4. 4. 设〃|,化是非齐次线性方程组Ax = b的任意两个解,则下列结论正确的是(). (A) 〃|一化是如“的一个解;(B)| 一!〃2是弘“的一个解; (C)彷+〃2 是 Ax = 2b 的一个解;(D) 2〃]一 〃,是 Ax = 0 的一个解. 5. 下列结论中错误的是(). (A) n阶方阵A相似于对角阵的充要条件是A有〃个不同的特征值; (B) %,> 2)线性相关的充要条件是至少有一个向量是其余向量的线性组合; (C) 若二次型xtAx正定,则4与单位阵£合同; (D) 设矩阵,若R(A) - m ,则Ax = b有无穷多解. 6. 设n阶方阵A的一个特征值是2 = 3, B = A--2A,则3的一个特征值是(). (A)2; (B)3; (C)-2; (D) 0. 7.设V = {[Xp x2, x3]r| Xj + x2 + x3 = 0, x15 x2, x3 e 7?},则( ) (A) V是1维向量空间;(B)V是2维向量空间; ). (C) V是3维向量空间;(D) V不是向量空间. ■1c1■ 1C1 r 11 ] 一 0 一 一 0 一 —0— 22 2 0 2 42 42 c11 1 1 1 1八1 0—— (B) 0 3 3 (C) (D) -0- 33 7 3 3 43 001 0 01 1 八1八 0 —1 0-0 4 4 (A) 8.设a{,a2,a3是向量空间尿的一组基,贝!]由基2%, 3%, %至0基%, %,%+%+% 的过渡矩阵为( 选择题答案 ;3 ;2 (1)求R(al,a2,a3,a4); (2)判别向量组的线性相关性, 解:(叫,a?, %,已4)= 1 0 0 1 0 1 0 1 求出一个最大无关组,并把其余向量用此最大无关组线性表示. -2、 3 1 (1 0 0 〔0 0 1 0 1 1 3、 -2 -8 -3 -8 1 ‘10 1 3、 10 1 3、 10 0 1/3、 0 110 0 110 0 1 0 -8/3 0 0-3-8 0018/3 0 0 1 8/3 、0 0 -3 -8; 、0 0 0 0 ; 、0 0 00 , (1) 7?(«1,a2,Qf3,Qf4) = 3 (2)向量组线性相关,其一个最大无关组为%,%,%,且 188 四、当。取何值时,下列线性方程组有解,并在有解时求其通解. 2xj 一 x2 + x3 + x4 = 1 < %! + 2.x2 一 x3 + 4x4 = 2 2 -3 a -5 3 -7 0 0 x, + 7x2 -4x3 + 11x4 = a 2 -1 1 1 1 1 2 -1 4 2 1 2 -1 4 2 0 -5 3 -7 -3 1 7 -4 11 a 0 5 -3 7 a -2 解A = 12-14 当a = 5时,7?(A) = 7?(A) = 2< 4,所以有依赖于2个独立参数的无穷多解。 At 6-57-50 O 1 O 1 o O 4-53-50 1 6 ~5 3 _7 5 + *2 + 1 0 0 1 0 五、用正交变换将二次型f=x^+lx{x3化为标准形,并写出正交变换. 2 \AE - A| = 0 -1 下, 0-1 2-1 0 =(4—1)2(人 + 1) .•.人| =% =1,人3 —1 02 1 o -T 1 o -T T P[ 当 4 =人2 = 1 时,4E — A = 0 0 0 0 0 0 ,Pl = 0 ,P2 = 1 -1 0 1 0 0 0 1 一。] -I 0 -「 1 o r ■-f 当 23 =-1 时,AE-A = 0 2 0 0 1 0 ,,p3 = 0 -1 0 -1 0 0 0 1 •; Pl,P2,P3两两正交,.•.只需将Pi,,2,Pi单位化即可得正交阵 1/V2 0 -1/V2 2=010 1/V2 0 1/V2 a b 六、设2阶实矩