线性代数(1)试卷
中国矿业大学徐海学院2010-2011学年第1学期 《线性代数》试卷(A)卷 考试时间:120分钟考试方式:闭卷 学院 班级 姓名 学号 题目 ―* 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分 阅卷人 一、填空题(每空3分,共24分) ‘4 0 0、 1. 设A为4X3阶矩阵,且A(A)= 2,又B= 0 2 0 ,则 1 2 3) R(AB) =. 2. 已知三阶方阵A的特征值为2,3,4,则|2A| =. 3. 设a,g,y为3为列向量,记矩阵 A = (a,A,),B = (a + /3,/3 + y,y + a), 若 |A| = 3,则 |3|=. 4. 设向量组 a; = (1,2,1) ,% - (*,1,1) =(0,2,3) 线性相关,则 5. 设n维行向量a 中E为n阶单位矩阵,则AB = ,矩阵 A = E —tz a, B = E + 2aTa,^: 6. 设E(i,j)为互换阵,则[E0 J)「=. 7. 已知3阶方阵A的特征值为1,1,2,设方阵B = A2-E ,则B的特 征值为. “1 0 1、 8. 设矩阵4= 1 -1 0 ,则矩阵A的伴随矩阵A*=. I。1 2J 二、(10分)已知都是3阶方阵,且满足2酗-1 =3-48,其中E 为3阶单位矩阵. (1) 证明:矩阵A-2E可逆; ‘1 -2 0、 (2) 若B= 1 2 0 ,求矩阵A 0 2, 尤1 + 2x2 一 尤3 + 4x4 = 2 三、(12分)设线性方程组< 玉+3尤2-互+4心=3,讨论4何值时,方 尤 1 + 2x2 一 尤3 + 衣4 = 3 程组无解,有解?在有解的情况下,求出全部解. 四、(10 分)设有向量组%=(2,1,5,3)「,%=(1,-1,2,1)「,%=(0,3,1,1)「, 缶=(1,2,3,2)「,% = (-1,1,-2,-8) .求向量组的秩和它的一个极大线性无关 组,并将剩余的向量用此极大线性无关组线性表示。 五、(14分)已知二次型 f(xi,x2,x3) = (l-a)xf + (l-tz)xf +2%3 + 2(1 + a)xrx2 的秩为2, (1)求。的值;(2)求正交变换X=QY 9把/(xpx2,x3)化为标准型. 六、(12分)已知R3中的两组向量为 名 = (1,2,1), % = (2,3,3), % = (3,7,1) *=(3,1,4),腐=(5,2,1),四=(1,1, -6) ① 证明%,%,%和“1,”2,”3都是火③的基; ② 求«15«2,«3到月 1,腐,月3的过渡矩阵; 求a = (0,1, 2)在%,%,%下的坐标。 七、(8分)设A为n阶方阵,试证齐次线性方程组AX=O有非零解的 充要条件是A有零特征值. 八、(10分)设/是〃阶可逆阵,ava2,--,ak是*个〃维列向量,试证 线性无关当且仅当AavAa2,-, Aak线性无关.