中考数学复习必备——分式方程及其应用
中考数学复习必备——分式方程及其应用 知识点回顾: 知识点一:解分式方程 解分式方程的一般步骤是通过去分母化为,去分母的方法是方程 各项同时乘以.验根是解分式方程必不可少的步骤,这是因 为. YV -J- 1 例1: (2009襄樊市)分式方程=的解为() x — 3 x A. 1 B. —1 C. —2 D. —3 【解析】方程两边同乘(x-3)(x-l),得x(x-l) = (x + l)(x-3),解得x = -3,经检验x = -3 是原分式方程的解,故选D. V 6 例2: (2009北京)解分式方程: += 1 x-2 x+2 【解析】按照去分母、移项、合并同类项,系数化为1的步骤解分式方程,对得到的方程的 解一定要检验是否为增根. 【答案】去分母,得 x(x + 2) + 6(x - 2) = (x - 2)(x + 2) 解得x = l 经检验X = 1是原方程的解 所以原方程的解是X = l. 同步测试: 1. (2009年怀化)分式方程—^— = 2的解是() 3x-l x — — B. x= 2 C. x — — D. x —— 233 3 — x 1 2. (2009年宁德市)解分式方程:一+—— =1 x — 4 4 — x 知识点二:分式方程解的讨论 增根:在方程变形时,有可能产生不适合原方程的根,这种根叫做方程的. 例3 (2009牡丹江)若关于X的分式方程 —己=1无解,则。=. x — 1 x 【解析】本题考查了分式增根的意义.根据分式方程求解出的未知数的值,若会使分母为零, 则为增根,即原方程无解. 【答案】1或一2 同步测试: y X 4- irj (2009年杭州市)已知关于X的方程三兰吸=3的解是正数,则m的取值范围为. x -2 知识点三:分式方程的应用 例4 (2009南充)在达成铁路复线工程中,某路段需要铺轨.先由甲工程队独做2天后,再 由乙工程队独做3天刚好完成这项任务.已知乙工程队单独完成这项任务比甲工程队单独完 成这项任务多用2天,求甲、乙工程队单独完成这项任务各需要多少天? 【解析】设甲工程队单独完成任务需X天,则乙工程队单独完成任务需(x + 2)天,甲、乙 所做的任务综合为总工程. 23 【答案】依题意得-+ —^ = 1. x x + 2 化为整式方程得 .X2 - 3.r - 4 = 0 解得了 = 一1或x = 4. 检验:当x = 4和x = -1时,x(x + 2)壬0 , X = 4和X = -1都是原分式方程的解. 但x = —1不符合实际意义,故x = -1舍去; 乙单独完成任务需要x + 2 = 6 (天). 答:甲、乙工程队单独完成任务分别需要4天、6天 同步测试: 1. (2009年湖北十堰市)某工厂准备加工600个零件,在加工了 100个零件后,采取了新 技术,使每天的工作效率是原来的2倍,结果共用7天完成了任务,求该厂原来每天加工 多少个零件? 2. (2009年桂林市、百色市)在我市某一城市美化工程招标时,有甲、乙两个工程队投标.经 测算:甲队单独完成这项工程需要60天;若由甲队先做20天,剩下的工程由甲、乙合做 24天可完成. (1)乙队单独完成这项工程需要多少天? (2)甲队施工一天,需付工程款3. 5万元,乙队施工一天需付工程款2万元.若该工程 计划在70天内完成,在不超过计划天数的前提下,是山甲队或乙队单独完成该工程省钱? 还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱? 随堂检测: 12 1. (2009年咸宁市)分式方程一二的解是. 2x x + 3 21 2. (2009湖南邵阳)请你给X选择一个合适的值,使方程——=—— 成立,你选择的 x -1 x — 2 x =. 3. (2009年孝感)关于x的方程八 =1的解是正数,则a的取值范围是 X - 1 A. a> — 1B. a> — 1 且 3乂0 C. aV — 1D. a -6或〃? ? -4 知识点三: 同步测试: 1. 解:设该厂原来每天加工x个零件, 由题意得:122+迎=7 x 2x 解得户50 经检验:疙50是原分式方程的解 答:该厂原来每天加工50个零件. 2. 解:(1)设乙队单独完成需X天 根据题意,得—x20 + (- + —)x24 = l 60 x 60 解这个方程,得x=90 经检验,X =90是原方程的解 .•.乙队单独完成需90天 (2)设甲、乙合作完成需y天,则有%^ +讶= l 解得y=36 (天) 甲单独完成需付工程款为60X3.5=210 (万元) 乙单独完成超过计划天数不符题意(若不写此行不扣分). 甲、乙合作完成需付工程款为36 (3.5+2) =198 (万元) 答:在不超过计划天数的前提下,由甲、乙合作完成最省钱. 随堂检测: 2.3 3. D 12090 4. 呈竺一二竺(其他答案正确也给分 x + 20 x 5. 解:由题意得, 2x + 2 , &73ZF,11 =4 ,解得x =—— 3x — 55 经检验,x =—是原方程的解. 5 x的值为业. 5 6. 解:方程两边同乘3(x-2),得 3(5x-4) = 4x + 10-3(x-2). 解这个方