中考数学复习指导:《分式方程》的“非常”解法
《分式方程》的“非常”解法 解分式方程的一般思路通常是方程两边同乘以最简公分母,转化为整式方程解决.但是 对于某些分式方程,用常规解法很麻烦或无法求解;此时必须认真观察、仔细分析方程特点, 运用数学方法加以探索创新,找到最简方法.达到发展思维,开拓创新,灵活求解的目的. 一、换元法 例1 12 — X 解方程一=二^ + 2009. 3 3 — x 分析 方程中所有未知数的系数相同,并且分母互为相反数,故可考虑单参换元. 解 1 V +1 设X —3=y,贝Ijx —2=y + l,则原方程可变为一=—+ 2009 ,即 y y - = - + 2010,0 = 2010,结论显然是矛盾的,所以原方程无解. v v 例2 、工口 3%2 + 8x+33%2 + 8x+9 解万程99 x2 + 4x + ll x +4x+13 分析 方程中分子、分母的二次项与一次项分别相同,故可考虑运用双参换元法. 解 设3f+8x + 3 = Y,x2+4x + 11 = z ,则原方程变形为业=里堂,即 z z + 2 yz + 2y = :yz + 6z,所以 y = 3z,即 3/+8x + 5 = 3(/+4 尤+ 11),解得工=一7 . 经检验,》=—7是原方程的解. 二、特殊套用法 例3 解方程- + — = 2-. x-13%2 分析 111Q yy_1 若分式方程为X + 土 =。+ 土,则其解为X] = a, x, = 土 .本题中里与 —,2与 xaax-1 3x [分别互为倒数,符合方程%+- = « + -的特点,故可用此结论解答. 2x a 解 原方程变形为—+ -— = 2 + -,设里=?,此时原方程变形 x-1 3x2x-1 为:y+—: y 1 111 二2 + 土,.・.、=2或)7 = 土.即里 =2或里 =土,解得:茶=一2,易=一上.经检 2 •-2x-1x-1 21-5 验得:改= = -2,x2 =都是原方程的解•.原方程的解为西=—2, x2=-|. 例4 解方程+1+1+.+1=io. x+10 (x + l)(x + 2) (x + 2)(x + 3)(x + 9)(x + 10) 分析 我们知道,=,故本题可套用此公式化简. (m + l)(m + 2) Qn +1) (m + 2) 解原方程变形为 -^― + ―+—+. + —=10,即— = 10 ,解得 x+10 x+1 x+2 x+2 x + 3x+9 x + 10 x + 1 9 9 x = 一一 .经检验x = 一一是原方程的解. 10 10 三、倒数法 1 1 9 1 例 5 已知 x + — = 2—,则 X+ —= . x 2%- 分析 已知条件中,互为倒数2- = 2 + -,其中2,』互为倒数关系,利用此关系, x222 可有下面解法. ._11tv171,1,1 食牛 x H— = 2 —,.・.尤=2,或工=—,x H— =4 — = 4—. X 22- X2 44 例6解方程 17 ~4 2x-l 3x + 2 1 3x+2 2x-l 分析方程的左边两项为倒数之和,因此可用倒数法简化求解, 设竺二 3%+ 2 y,则 3x+2_ 1 2x-l y 原方程变形为y + L = 4 + :“.y = 4或丁 =:. 2x-19 当y = 4时,则=4,解之得x1=-—; 3x+210 当V=1时,则2日=1,解之得x, =2. -43x + 2 4- 5 96 经检验x,=-^,x2=j是原方程的根. 四、构造法 例7解方程x2 + x + ^— = — . X- + X 3 分析此方程在形式上有很明显的特征,可以构造为》+上=* +上型的方程来求解, x k 而不用常规解法. 解 原方程可化为:/+x + —二 =3 +』. JT+X 3 /. x2 + x = 3 x2 + x =—. 解之得:如=匕应,退,4=- : 士!如. 22 o 经检验:x12 = ~1±A^,x34 =--±-V21均是原分式方程的根. 1-23.42 6 五、局部通分法 ,„ , „ x — 3 x — 4 X — 6 x — 7 例8解万程=. X — 4 X — 5 x — 7 X — 8 分析 该方程的特点是等号两边各是两个分式,相邻两个分式的分子与分子,分母与分 母及每个分式的分子与分母都顺序相差1,象这类通常采取局部通分法. 方程两边分别通分并化简,得: 1 _ 1 (x-4)(x-5) - (x-7)(x-8) 去分母得:(x-4)(x-5) = (x-7)(x-8) 解之得:x = 6,经检验:x = 6是原分式方程的根. 点拨 此题如果用常规法,将出现四次项且比较繁,而采用局部通分法,就有明显的优 越性.但有的时候采用这种方法前需要考虑适当移项,组合后再进行局部通分.